Seja a função
Determine o maior intervalo onde é invertível.
Passo 1
A primeira coisa é tentar aplicar o Teorema da Função Inversa. Pra isso vamos derivar a função:
Igualando a zero:
Então temos ou:
O que é impossível!! Isso porque .
Ok, então o único ponto onde deu problema foi mesmo. Então garantimos que é invertível em ou em .
Mas ele quer o maior intervalo possível, vamos ver se temos a função inversível no
Passo 2
Agora resta testar se é bijetora. Se for o caso, ela será invertível em todo o .
Vamos dar uma olhada nessa função:
Hmm... Reparou alguma coisa?
Nenhum dos termos que aparece nessa função pode ser negativo! Temos que:
Opa! Isso significa que a imagem de não inclui os números negativos (nem o zero, aliás), portanto não é sobrejetora não é bijetora em todo o . Desta forma, considerando o intervalo como sendo o domínio da função, percebemos que f é bijetora neste domínio.
Essa é uma possível resposta então, se preferir, pode falar que o maior intervalo é o de pois aqui também a função é Bijetora.
PORÉM CUIDADO! A resposta é um ou outro, você quem escolhe, mas não pode ser os dois ao mesmo tempo, heim!
Resposta
Outra resposta possível: