Regras de Derivação II
Considere a função .
Determine .
Determine o maior intervalo contendo tal que seja invertível.
A reta tangente ao gráfico desta inversa de no ponto .
Passo 1
Esse item é tranquilo, só substituir o valor, né?
Passo 2
Agora enrola um pouco. Vamos pensar, o que uma função precisa para ser invertível? Precisa ser bijetiva, ou seja, para cada temos um valor de diferente. Acontece que o seno tem uma série de valores de que se repetem. Com isso, vemos que a função seno não é invertível em todo o seu domínio. Agora, por exemplo, num intervalo de o assume todos os valores que ele pode sem que nenhum valor de se repita. Como na questão a função é um , esse intervalo passa a ser .
Mais que isso, qualquer intervalo como esse só que deslocado , para frente ou para trás, terá mesmo efeito. Como a função é essa distância deslocada passa a ser :
Ou seja, o que queremos nessa questão é saber para que teremos dentro do intervalo. É só tentar alguns ’s positivos que vamos ver que o que gera isso é .
Assim, o maior intervalo contendo tal que seja invertível é .
Passo 3
Por definição, a derivada da inversa é dada assim:
O coeficiente angular da reta tangente a um gráfico é dado pela derivada, modelando a reta por . A gente está trabalhando com o ponto :
Como é dado por , temos isso aqui:
Então o coeficiente angular da reta é esse aí. Falta o linear. Como a reta passa no ponto , podemos substituí-lo:
Então a reta é o seguinte: