Seja para
A função é inversível?
Determine uma expressão pra a função , a inversa de
Calcule a derivada de em
Passo 1
Para sabermos se a função é inversível vamos usar o Teorema da Função Inversa.
É só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de
E vamos ter que essa derivada só vai ser em
Como esse valor não está incluído no domínio (pois ele diz que ) ela sempre vai ser diferente de . Portanto pelo teorema da função inversa ela é inversível.
Passo 2
Para descobrirmos essa expressão devemos trocar o com o e achar o novo , assim
Nos temos
Vamos isolar o
Devemos fazer alguma coisa para chegar em sozinho. Vamos fazer um negócio chamado completar quadrado. Concorda que:
certo? Então, se eu somar um de cada lado, fica assim:
Vamos ter com isso
Como ele disse que devemos ter esse cara com sinal de na raiz, já que a raiz gera um termo positivo e , onde é positivo, será menor que
Essa é a nossa função inversa
Podemos mudar agora esse por na resposta final, só para deixar bonitinho com uma função inversa de
Passo 3
Vamos aplicar o teorema da função inversa
Vamos trocar isso aí porque ele quer a derivada da inversa e temos a derivada de
Ele quer isso nos diz que vamos achar o valor de para isso
Usamos Bhaskara:
Como o valor de , vamos ter
Passo 4
Agora que sabemos o valor de podemos aplicar o teorema da função inversa
Vamos ter
A derivada de vai ser