Considere a função f(x) = x^5 + x^3 + 3x .

(a) Qual o maior conjunto onde a função inversa existe? Justifique.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o maior conjunto onde a inversa da função f x = x 5 + x 3 + 3 x existe. Ou seja, nós precisamos determinar o domínio da inversa f - 1 .

Pra determinar a inversa dessa função, nós precisaríamos escrever y = x 5 + x 3 + 3 x e isolar x na função, de modo que teríamos f - 1 ( y ) . Mas repare que isolar x nessa função não é possível. Então, como a gente vai determinar o conjunto onde a inversa existe? Ainda bem que pra nos salvar, existe o Teorema da Função Inversa, que diz que se f ( x ) é derivável e f ' x ≠ 0 , então f ( x ) tem inversa e temos:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

Sendo assim, vamos calcular a derivada da nossa função e verificar se existe inversa e onde ela está definida.

Vamos lá!

Passo 2

Derivando f x = x 5 + x 3 + 3 x , usando a regrinha da potência ( x n = n x n - 1 ), temos:

f ' x = 5 x 4 + 3 x 2 + 3

Repare que essa função é sempre positiva:

5 x 4 + 3 x 2 + 3 > 0

E isso acontece para todo x ∈ R . Como a derivada da função é sempre positiva, então a função é sempre crescente. Dessa forma, pelo teorema da função inversa, f ( x ) possui inversa e ela é definida em todo R (por se tratar de um polinômio).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   i n v e r s a   e x i s t e   p a r a   t o d o   x ∈ R

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