UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.3.1a
Considere a função .
(a) Qual o maior conjunto onde a função inversa existe? Justifique.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o maior conjunto onde a inversa da função existe. Ou seja, nós precisamos determinar o domínio da inversa .
Pra determinar a inversa dessa função, nós precisaríamos escrever e isolar na função, de modo que teríamos . Mas repare que isolar nessa função não é possível. Então, como a gente vai determinar o conjunto onde a inversa existe? Ainda bem que pra nos salvar, existe o Teorema da Função Inversa, que diz que se é derivável e , então tem inversa e temos:
Sendo assim, vamos calcular a derivada da nossa função e verificar se existe inversa e onde ela está definida.
Vamos lá!
Passo 2
Derivando , usando a regrinha da potência (), temos:
Repare que essa função é sempre positiva:
E isso acontece para todo . Como a derivada da função é sempre positiva, então a função é sempre crescente. Dessa forma, pelo teorema da função inversa, possui inversa e ela é definida em todo (por se tratar de um polinômio).
Valeu, galera! Até a próxima! 😉