Seja:
Calcule a derivada de .
Determine um intervalo , o maior possível, tal que e que seja invertível.
Passo 1
Para derivar, usamos a regra da cadeia. Derivamos o ln normalmente preservando o argumento e depois multiplicamos pela derivada do argumento:
Passo 2
Ok. A função será invertível em um intervalo se for contínua nesse intervalo e se a derivada não for zero no mesmo.
A função é composta pelo log e um polinômio no seu argumento. Como ambas são funções contínuas, também será.
Vamos pegar a derivada e verificar os pontos onde é zero.
Descartando e , que zeram o denominador:
Neste ponto a derivada é zero.
A questão pede um intervalo contendo , dessa maneira, teremos:
Indo até zero, pois não faz parte do domínio da função.