UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.3.6a
6. Seja para .
(a) Prove que é invertível e calcule .
Passo 1
Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉
Nesse problema queremos provar que é possível obter a função inversa de e também queremos calcular a derivada inversa de em .
Parece complicado, não é? 🤔
Para calcular uma função inversa, temos que escrever em função de , ou seja, temos e nosso objetivo é obter .
Depois disso temos que calcular a derivada de e pra isso usamos a equação
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Substituindo por , temos
A inversa da função é oposta à , então tirando a tangente dos dois lados...
OBS: Entenda como
Elevando os dois lados a , temos
Portanto, a função inversa de é dada por
Bacana, não é? 😉
Passo 3
A por último, para calcular a derivada da função inversa, podemos usar a relação
Pela regra do quociente, temos
Aplicando a regra da cadeia na derivada de
Simplificando e voltando para
Substituindo em
Aplicando o ponto
Sacou como faz? Responde Aí! 😉
