Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

Calcule a 2021-ésima derivada das funções

c) h x = sin ⁡ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função h x dada por:

h x = sin ⁡ x

E pede para determinarmos a 2021-ésima derivada.

Eita que é muita derivada para a gente fazer né? hehe

Então, nessa questão a gente deve focar em analisar um padrão para cada derivada que a gente faz.

Assim, não é necessário ficarmos fazendo muuuuitas derivadas!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, derivando h ( x ) temos a derivada de ordem 1:

h ' x = cos ⁡ x

Para a derivada de ordem 2, temos:

h ' ' x = h ' x ' ∴

h ' ' x = - sin ⁡ x

Para a derivada de ordem 3, temos:

h ' ' ' x = h ' ' x ' ∴

h ' ' ' x = - cos ⁡ x

Para a derivada de ordem 4, temos:

h 4 x = h ' ' ' x ' ∴

h 4 x = - - sin ⁡ x ∴

h 4 x = sin ⁡ x

Podemos ver que o padrão se repete a cada quatro derivadas!!

Portanto, para a derivada de ordem 2021 , podemos observar que 2021 dividido por 4 tem resto igual a 1 .

Isso significa que a derivada de ordem 2021 da função seno terá o mesmo resultado que a primeira derivada, ou seja:

h 2021 x = cos ⁡ x

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

h 2021 x = cos ��� x

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