6. Seja
Determine o valor das constantes e , de tal maneira que o ponto seja um ponto de inflexão de .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão primeiro temos que lembrar como achamos o ponto de inflexão de uma função!
Para quem lembrar, o ponto de inflexão é aquele onde a segunda derivada será igual a zero. Então aqui, nós vamos achar a derivada segunda, igualar a zero e substituir o ponto na equação para achar e .
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar achando a segunda derivada!
Derivando uma vez,
Agora vamos derivar de novo,
Agora que encontramos a segunda derivada podemos seguir!
Passo 3
Igualando a zero, ficamos com
Isso quer dizer que, no ponto de inflexão:
Agora vamos usar a informação que o enunciado nos forneceu sobre o ponto de inflexão!
Passo 4
O enunciado nos disse que o ponto de inflexção é , ou seja, temos que .
No Passo 3, encontramos a seguinte equação,
Substituindo , podemos encontrar
Agora temos que encontrar .
Passo 5
Para encontrar , vamos usar a equação original
Só que agora sabemos que e temos o ponto . Substituindo esses dados na equação, ficamos com
Resolvendo,
Resposta
e