Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

Ver Teoria

Enunciado

Calcule f ' ' para a função do ex. 8 da Lista 7.

G r = 2 r 2 - 2 r - 1 5

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo belezinha?

A questão pede a derivada segunda de uma função apresentada em uma lista de exercícios anterior. A função é uma raiz quíntupla e pode assustar um pouco, mas não se preocupe. Basta reescrevermos a função para que possamos derivar mais fácil. Além disso, você deve saber que se precisamos da derivada segunda, vamos ter que derivar a função duas vezes, beleza?

Reescrevendo a raiz

G r = 2 r 2 - 2 r - 1 5 = 2 r 2 - 2 r - 1 1 / 5

Observe que podemos simplificar a função que é composta por um quociente.

2 r 2 - 2 r - 1 = 2 ( r + 1 ) ( r - 1 ) r - 1 = 2 r + 1 = 2 r + 2

Passo 2

Podemos aplicar agora a regra da cadeia, já que temos uma função dentro de outra função. Então o que faremos é derivar a função de fora e multiplicar pela derivada da função de dentro. Veja só:

G ' r = 2 r + 2 1 5 ' = 2 1 5 ( r + 1 ) 1 / 5 ' = 2 1 5 1 5 r + 1 - 4 5 ∙ r + 1 '

Simplificando e substituindo

G ' r = 2 1 5 1 5 r + 1 - 4 5 ∙ 1 = 2 1 / 5 5 ( r + 1 ) 4 / 5

O resultado da nossa primeira derivada então é

G ' r = 2 1 / 5 5 ( r + 1 ) 4 / 5

Passo 3

O nosso último passo é derivar novamente. Vamos derivar o resultado que encontramos como derivada primeira.

G ' ' r = 2 1 5 5 r + 1 4 5 '

Como essa função não é nada simples, vamos começar simplificando como podemos, primeiro tirando as constantes, já que elas não precisam ser derivadas:

G ' ' r = 2 1 5 5 r + 1 4 5 ' = 2 1 5 5 1 r + 1 4 5 '

Agora, podemos inverter esse expoente do denominador:

G ' ' r = 2 1 5 5 1 r + 1 4 5 ' = 2 1 5 5 r + 1 - 4 5 '

Prontinho, agora não tem mais como fugir: bora derivar!

G ' ' r = 2 1 5 5 r + 1 - 4 5 ' = - 4 5 ∙ 2 1 / 5 5 1 ( r + 1 ) 9 / 5

Logo, derivando nossa função duas vezes obtemos

G ' ' r = - 4 25 2 1 / 5 ( r + 1 ) 9 / 5

Prontinho! Até mais!

Resposta

G ' ' r = - 4 25 2 1 / 5 ( r + 1 ) 9 / 5

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P 2 = 5 ,P ' 2 = 3eP ' ' 2 = 2 .
Determine as expressões para as cinco primeiras derivadas de f x = x 2 e x . Você vê alguma regra nessas expressões?Proponha uma fórmula para f n x e prove-a usando a indução matemática
Encontre a n-ésima derivada de cada função calculando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.(a) f x = x n (b) f x = 1 x
16. Sejam f x e g x funções deriváveis até 3ª ordem. Mostrar que:a) f g ' ' = g f ' ' + 2 f g ' + f g ' ' b) f g ' ' ' = g f ' ' ' + 2 f ' g ' + f g ' '