Encontre uma fórmula para se
Passo 1
Aqui ele quer a derivada de ordem , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.
A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui.
Passo 2
Então, vamos derivar
Passo 3
Opa está surgindo um padrão nessa parada, sempre vamos “descer” o número seguinte negativo, vamos ignorar o sinal por enquanto, consegue perceber que aquele produto vai ser um fatorial? Assim oh
Passo 4
Além disso, os sinais vão trocando em cada derivada. Para as derivadas de ordem par a derivada vai ser negativa e para as derivadas de ordem ímpar a derivada vai ser positiva. Podemos escrever isso assim
Sacou? Sempre que ele for mudando o sinal é só colocar elevado a ordem da derivada mais .
Passo 5
Falta só ver que o expoente é sempre a ordem com um sinal negativo na frente e que o fatorial é sempre a ordem da derivada menos , assim a nossa derivada vai ser
Passo 6
Vamos agora fazer algumas análises dessa parada que achamos, a primeira coisa é ver que se a nossa função não tem nada a ver com essa que escrevemos ali.
Assim vamos ter na verdade sendo
Passo 7
A próxima parada importante para olharmos é se as derivadas estão definidas em todos os pontos que a própria função está definida.
A função é definida em
Assim
E o ponto que as derivadas tem problemas é quando aquele for , mas isso acontece em , que não está definido na função, então temos tudo tranquilo.