Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

Ver Teoria

Enunciado

Encontre a equação da reta normal à curva

y = x

no ponto ( 4,2 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos encontrar a equação da reta normal à curva

y = x

no ponto ( 4,2 )

Como fazemos isso?

A equação de uma reta é dada por

y - y 0 = m ( x - x 0 )

onde ( x 0 , y 0 ) é um ponto da reta e m o coeficiente angular da reta. Como a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente, temos que m = f ' ( x 0 ) e podemos usar isso para obter a reta tangente.

Mas como queremos calcular a reta normal, precisamos usar o fato que o coeficiente angular de uma reta normal a uma reta com coeficiente angular m é dado por

- 1 / m

Logo, a reta normal é

y - y 0 = - 1 / ( m ) ( x - x 0 )

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar calculando y '

y = x

y ' = x - 1 / 2 / 2

Logo, o coeficiente angular da reta tangente no ponto ( 4,2 ) é

m = 1 / 4

Logo, pelo passo 1, o coeficiente angular da reta ortogonal é

m ' = - 4

Sendo assim, a reta ortogonal a função que passa pelo ponto ( 4,2 ) é:

y - 2 = - 4 ( x - 4 )

y = - 4 x + 18

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y = - 4 x + 18

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P 2 = 5 ,P ' 2 = 3eP ' ' 2 = 2 .
Determine as expressões para as cinco primeiras derivadas de f x = x 2 e x . Você vê alguma regra nessas expressões?Proponha uma fórmula para f n x e prove-a usando a indução matemática
Encontre a n-ésima derivada de cada função calculando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.(a) f x = x n (b) f x = 1 x
16. Sejam f x e g x funções deriváveis até 3ª ordem. Mostrar que:a) f g ' ' = g f ' ' + 2 f g ' + f g ' ' b) f g ' ' ' = g f ' ' ' + 2 f ' g ' + f g ' '