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Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profª Sonia Berrios - Lista 2 - Limites, Continuidade e Derivadas, Questão 17

Calcule f ' ' ( 1 ) , onde

f ( x ) = x ² 1 + x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular f ' ' ( 1 )

f ( x ) = x ² 1 + x

Para isso, vamos relembrar algumas regras de derivação

Regra da constante:

s e   f ( x ) = c ;   c ∈ R

⇒ f ' ( x ) = 0

Regra do produto:

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Regra da razão:

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Regra do polinômio

s e   f ( x ) = x n ,   n ≠ 0

⇒ f ' ( x ) = n x n - 1

regra da cadeia

s e   f ( x ) = g ( h ( x ) )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar calculando f ' ( x )

f ( x ) = x ² 1 + x

Usando a regra da razão

f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

= ( x ² ) ' ( 1 + x ) - x ² ( 1 + x ) ' ) / ( 1 + x ) ²

= ( 2 x + 2 x ² - x ² ) / ( 1 + x ) ²

= ( 2 x + x ² ) / ( 1 + x ) ²

Passo 3

Agora, precisamos derivar mais uma vez. Aplicando a regra da razão, temos:

f ' ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

= ( ( 2 x + x ² ) ' ( 1 + x ) ² - ( 2 x + x ² ) ( 1 + x ) ² ' ) / ( 1 + x ) ⁴

Aplicando a regra da cadeia, temos que

( 1 + x ) ² ' = 2 ( 1 + x )

Logo nossa derivada fica

= ( ( 2 + 2 x ) ( 1 + x ) ² - ( 2 x + x ² ) 2 ( 1 + x ) ) / ( 1 + x ) ⁴

Calculando f ' ' ( 1 ) ,   t e m o s :

f ' ' ( 1 ) = ( ( 4 ) ( 2 ) ² - ( 3 ) 2 ( 2 ) ) / ( 2 ) ⁴

= 4 / ( 2 ) ⁴

= 1 / 4

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 1 / 4

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