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Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profª Sonia Berrios - Lista 2 - Limites, Continuidade e Derivadas, Questão 35

Seja y = x 2 + 1 . Verifique que y ' 2 + y y ' ' = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que a igualdade y ' 2 + y y ' ' = 1 é verdadeira, tendo y = x 2 + 1 .

Pra isso, nós vamos precisar derivar duas vezes nossa função e verificar a relação entre os resultados. E como y é uma função composta, não podemos esquecer de aplicar a regra da cadeia na derivação.

Relembrando, na regra da cadeia, temos:

f ( g x ) ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função y = x 2 + 1 . Aplicando a regra da cadeia, temos:

y ' = x 2 + 1 1 / 2 '

y ' = 1 2 x 2 + 1 1 2 - 1 ∙ x 2 + 1 '

y ' = 1 2 x 2 + 1 - 1 / 2 ∙ ( 2 x )

Simplficando:

y ' = x x 2 + 1

Passo 3

Agora vamos derivar mais uma vez, usando a regra do quociente ( f g ' = f ' g - f g ' g 2 ):

y ' ' = x ' x 2 + 1 - x x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

Derivando, usando a regra da cadeia nos termos que tem raiz:

y ' ' = ( 1 ) x 2 + 1 - x x x 2 + 1 x 2 + 1

Simplficando:

y ' ' = x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 x 2 + 1

Passo 4

Agora vamos substituir y ' = x x 2 + 1 e y ' ' = x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 x 2 + 1 na equação y ' 2 + y y ' ' = 1 e ver se o nosso resultado é igual a 1 :

x x 2 + 1 2 + y x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 x 2 + 1

Além disso, temos y = x 2 + 1 . Então, ficamos com:

x x 2 + 1 2 + x 2 + 1 x 2 + 1 - x 2 x 2 - 1 x 2 + 1

x 2 x 2 + 1 + x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 1

Multiplicando as raízes e simplificando:

x 2 x 2 + 1 + x 2 + 1 x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1

= x 2 + x 2 + 1 - x 2 x 2 + 1 = x 2 + 1 x 2 + 1

= 1

Portanto, a igualdade é verdadeira.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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