4. Encontre a derivada dada, encontrando as primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.
b.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? O enunciado pede para calcularmos
Isso significa derivar a função vezes. Poder, a gente até pode fazer isso, mas vai demorar muito tempo né.
Então vamos usar uma ajudinha que o próprio enunciado deu. Ele nos disse para encontrarmos as primeiras derivadas e observarmos um padrão.
Então bora fazer isso!
Passo 2
Fazendo as primeiras derivadas ficamos com,
Galerinha, pode não parecer, mas já na quarta derivada, a gente consegue encontrar um padrão.
Repara que todas as derivadas são uma soma de dois termos. E que o segundo termo voltou a ser a igual ao da função sem derivar na quarta derivada.
Já o primeiro termo sempre é a ordem da derivada multiplicada pela função contrária do segundo termo (se no segundo termo temos um cosseno, no primeiro termo temos um seno, e vice-versa). Além disso, temos que para ordens de derivadas pares, o sinal dos dois termos são iguais e para derivadas de ordens impares, os sinais são contrários.
Passo 3
Como o padrão se repete a partir da derivada de ordem . Então para saber qual é a derivada , vamos dividir esse valor por .
O nosso resultado é e o resto é . Agora vamos interpretar isso!
Para chegar na derivada , foram repetidos exatamente ciclos. Ou seja, o nosso resultado do segundo termo é o mesmo da derivada número (ou da função sem derivar, ordem , como o resto).
Logo, aplicando o padrão encontrado no passa anterior, ficamos com
Prontinho! Mas, galerinha, se vc quiser tirar uma prova real. Pega uma derivada de ordem menor e calcula a derivada até lá. Depois pega a ordem da derivada e divide por , veja qual é o resto. Através do valor do resto (lembrando que para resto , vamos olhar a de ordem ), olha para o padrão que resolvemos e ve se bate. Belezinha?