Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

4. Encontre a derivada dada, encontrando as primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.

b. d 36 d x 36 x cos ⁡ x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O enunciado pede para calcularmos

d 36 d x 36 x cos ⁡ x

Isso significa derivar a função x cos ⁡ x 36 vezes. Poder, a gente até pode fazer isso, mas vai demorar muito tempo né.

Então vamos usar uma ajudinha que o próprio enunciado deu. Ele nos disse para encontrarmos as primeiras derivadas e observarmos um padrão.

Então bora fazer isso!

Passo 2

Fazendo as primeiras derivadas ficamos com,

0 :   y = x cos ⁡ x

1 : y ' = + cos ⁡ x - x sin ⁡ x

2 : y ' ' = - 2 sin ⁡ x - x cos ⁡ x

3 : y ' ' ' = - 3 cos ⁡ x + x sin ⁡ x

4 : y 4 = + 4 sin ⁡ x + x cos ⁡ x

5 : y 5 = + 5 cos ⁡ x - x sin ⁡ x

. . .

Galerinha, pode não parecer, mas já na quarta derivada, a gente consegue encontrar um padrão.

Repara que todas as derivadas são uma soma de dois termos. E que o segundo termo voltou a ser a igual ao da função sem derivar na quarta derivada.

Já o primeiro termo sempre é a ordem da derivada multiplicada pela função contrária do segundo termo (se no segundo termo temos um cosseno, no primeiro termo temos um seno, e vice-versa). Além disso, temos que para ordens de derivadas pares, o sinal dos dois termos são iguais e para derivadas de ordens impares, os sinais são contrários.

Passo 3

Como o padrão se repete a partir da derivada de ordem 4 . Então para saber qual é a derivada 36 , vamos dividir esse valor por 4 .

O nosso resultado é 9 e o resto é 0 . Agora vamos interpretar isso!

Para chegar na derivada 36 , foram repetidos exatamente 9 ciclos. Ou seja, o nosso resultado do segundo termo é o mesmo da derivada número 4 (ou da função sem derivar, ordem " 0 " , como o resto).

Logo, aplicando o padrão encontrado no passa anterior, ficamos com

d 36 d x 36 x cos ⁡ x = + 36 sin ⁡ x + x cos ⁡ x

Prontinho! Mas, galerinha, se vc quiser tirar uma prova real. Pega uma derivada de ordem menor e calcula a derivada até lá. Depois pega a ordem da derivada e divide por 4 , veja qual é o resto. Através do valor do resto (lembrando que para resto 0 , vamos olhar a de ordem 4 ), olha para o padrão que resolvemos e ve se bate. Belezinha?

Resposta

d 36 d x 36 x cos ⁡ x = + 36 sin ⁡ x + x cos ⁡ x

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