Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

Seja p ( x ) um polinômio de grau n. A derivada de ordem ( n - 1 ) de p ( x ) é um polinômio de que grau? Justifique.

Passo 1

Fala aí, galera!!! Tranquilidade aí com vocês?

O que é dizer um polinômio de grau “n”. Isso é dizer pra gente que o maior grau será “n”, ou seja:

p x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 1 x + a o

Então por exemplo, vamos supor que nosso polinômio pra ser simplificado seja de ordem 4:

a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = p ( x )

Quando a gente diz que a derivada é ( n - 1 ) ordem, quer dizer que a gente precisa substituir nosso n ali pela ordem do polinômio, nesse caso é o valor 4:

Então a gente teria uma derivada de ordem 3, ou seja, precisaríamos derivar o polinômio 3 vezes!

p x ' = 4 a 4 x 3 + 3 a 3 x 2 + 2 a 2 x + a 1

p x ' ' = 12 a 4 x 2 + 6 a 3 x + 2 a 2

p x ' ' ' = 24 a 4 x + 6 a 3

Opa, nosso polinômio final é de ordem 1. E isso acontecerá sempre toda vez que tivermos um polinômio de grau n e precisarmos derivar ele na ordem de (n-1).

Se você reparar, nesse exemplo do polinômio de grau 4, a cada derivação, a ordem do polinômio diminuiu em 1. A primeira derivada tem ordem 3, a segunda derivada tem ordem 2 e a terceira derivada tem ordem 1.

Então, pra qualquer valor de n, se a gente reduzir o grau do polinômio (n-1) vezes, então ele sempre vai chegar a um polinômio de ordem 1.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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