Determine sendo que
Passo 1
Fazer a primeira derivada
Aqui ele quer a derivada de ordem , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.
A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. E pra gente começar a derivar, precisamos olhar bem fundo nos olhos da função e descobrir o que ela é, então vou deixar aqui pra vocês se olharem:
Bem, ela não é nem e nem e sim uma mistura dos dois! Quando temos uma mistura assim, onde uma função tá multiplicada pela outra, a gente já taca logo uma regra do produto. Só pra lembrar, se:
Então a derivada vai ser:
Olhando no fundo dos olhos da nossa função ela vira pra gente e mostra que, no modelo acima, e vão ser:
E suas derivadas vão ser:
E pra , derivar pode ser um pouco mais enrolado. Mas se olharmos a função dessa forma:
Podemos usar a regra da cadeia pra derivar:
A primeira derivada fica:
Saca só o que vamos fazer agora: colocar tudo no mesmo denominador. Pra que? Bem, aquele não casa muito bem com o denominador da outra parcela. Então bora lá mudar isso:
Opa, quer dizer então que ? Certíssimo! A primeira derivada fica:
Passo 2
Fazer as próximas derivadas
Ok, temos a primeira derivada. Mas e agora? Como achar o padrão? Tem jeito não, temos que derivar várias vezes até achar um. Mas olha de novo porque escrevemos a primeira derivada daquela forma:
Quando derivarmos isso várias vezes, vamos acabar usando a regra do quociente. Pra lembrar também, a regra do quociente vai ser:
Se e , dá uma olhada em como fica a segunda derivada:
Sendo exatamente o mesmo valor da primeira derivada, ficamos com:
Viu que o denominador foi ao quadrado? Então da primeira pra segunda derivada a gente já viu que a ordem do polinômio no denominador subiu em uma unidade. Se a gente derivar de novo e acontecer a mesma coisa então, vai ser show porque estaremos bem encaminhados!
E outra coisa muito importante: o termo sumiu! Agora que ele sumiu as coisas vão ficar mais fáceis de derivar! E mais fácil de achar o padrão também.
Trabalho braçal agora, infelizmente. A terceira derivada então vai ser:
Vamos derivar mais três vezes só, beleza? A próxima derivada:
E a próxima:
E a última:
Passo 3
Analisar o padrão obtido pelo resultado anterior
Show de bola, vamos reunir tudo que achamos:
A primeira coisa que temos que perceber aqui é que pra não encaixa em nenhum padrão. Afinal, essa é a única derivada que tem um em algum lugar! Então vamos achar um padrão para .
Se olharmos as derivadas, vamos ver que:
- Todos eles tem um intocado!
- Todos eles tem o dividido por uma potência de de ordem igual à quantidade de vezes que o foi derivado!
- Todas as derivadas de ordem par são positivas, e todas as derivadas de ordem ímpar são negativas
- As constantes (em módulo) multiplicando seguem a ordem fatorial com duas unidades de atraso em relação à ordem da derivada.
- Constante que multiplica, em módulo,
- Constante que multiplica, em módulo,
- Constante que multiplica, em módulo,
- Constante que multiplica, em módulo,
- Constante que multiplica, em módulo,
Juntando todas essas informações, podemos concluir que: