UFSC – Lista 2.10 – 2021.1 – P7
Mostre que se , então
Passo 1
Bem, vamos lembrar primeiro como é a regrinha pra derivada de exponencial?
Ou seja, precisamos derivar o expoente que está na exponencial e depois multiplicar pela própria função original.
No caso temos que nosso expoente é , então derivando de tal forma que
Então, na primeira derivada teríamos
Se você fosse derivar de novo, note que agora teremos a constante multiplicando nossa função exponencial, o que fará com que na próxima derivada, tenhamos algo como:
Portanto, note que podemos realmente dizer que:
Resposta
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Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P 2 = 5 ,P ' 2 = 3eP ' ' 2 = 2 .
Determine as expressões para as cinco primeiras derivadas de f x = x 2 e x . Você vê alguma regra nessas expressões?Proponha uma fórmula para f n x e prove-a usando a indução matemática
Encontre a n-ésima derivada de cada função calculando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.(a) f x = x n (b) f x = 1 x
16. Sejam f x e g x funções deriváveis até 3ª ordem. Mostrar que:a) f g ' ' = g f ' ' + 2 f g ' + f g ' ' b) f g ' ' ' = g f ' ' ' + 2 f ' g ' + f g ' '