Mostre que se f(x) = e^(ax) , então f^n(x) = a^n e^(ax)

Passo 1

Bem, vamos lembrar primeiro como é a regrinha pra derivada de exponencial?

f x = e u

f ' x = d u   e u

Ou seja, precisamos derivar o expoente que está na exponencial e depois multiplicar pela própria função original.

No caso temos que nosso expoente é a x , então derivando de tal forma que

d d x a x = a

Então, na primeira derivada teríamos f ' x = a e a x

Se você fosse derivar de novo, note que agora teremos a constante a multiplicando nossa função exponencial, o que fará com que na próxima derivada, tenhamos algo como:

f ' ' x = a   d d x a x e a x = a 2   e a x

Portanto, note que podemos realmente dizer que:

f n x = a n   e a x

Resposta

f n x = a n   e a x

Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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