Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

Se x y   + e y = e , encontre o valor de d 2 y / d x 2 no ponto onde x   =   0 .

Passo 1

Vamos calcular teoricamente a segunda derivada de y em relação a x a partir da equação x y   + e y = e , e então encontrar o valor de d 2 y / d x 2 no ponto onde x = 0 .

Dada a equação x y   + e y = e ,podemos derivar ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia:

d d x x y + d d x e y = d d x ( e )

Aplicando a regra da cadeia:

y d x d x + x d y d x + e y d y d x = 0

Simplificando:

y + x d y d x + e y d y d x = 0

Isolando d y / d x

d y d x = - y x + e y

Passo 2

Agora, derivamos novamente a expressão d y / d x em relação a x para encontrar a segunda derivada d 2 y / d x 2

d d x - y x + e y = - d d x y x + e y

Aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia, derivamos numerador e denominador:

- x + e y 0 - y 1 x + e y 2

Simplificando:

- - y x + e y 2

Agora, para calcular d 2 y / d x 2 no ponto onde x = 0 , substituímos x = 0 na expressão:

- - y 0 + e y 2 = y e 2 y

Passo 3

A equação que relaciona x   e   y   é   x y + e y = e , substituindo ( x = 0 )

0 ⋅ y + e y = e

e y   =   e

Isso implica que ( y   =   1 ) .

Agora, substituindo ( y   =   1 )   na expressão   y / e 2 y  

1 e 2 = 1 e 2

Portanto, o valor de d 2 y / d x 2 no ponto onde x = 0   é 1 / e 2

Resposta

Portanto, o valor de d 2 y / d x 2 no ponto onde x = 0   é

1 e 2

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