Determine sendo que
Passo 1
Aqui ele quer a derivada de ordem , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.
A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. Temos uma soma de seno com cosseno, então vamos dar uma arrumada nessa função para ficar mais fácil de achar os padrões
Com
e
Passo 2
Vamos começar com
Repara que eu fui derivando, e quando cheguei na derivada ela foi igual a função, se eu continuar derivando esse ciclo vai se repetir, isso porque a função seno fica indo para a cosseno e vice versa só variando as vezes o sinal. Então vamos ter
O primeiro, com é somando passamos a ter e a função volta a ser , então sempre que for múltiplo de vai ser . Usando esse mesmo raciocínio podemos ir somando , ou para achar as outras possíveis , assim a nossa é como está escrito ali em cima.
Passo 3
Vamos agora para
Repara que eu fui derivando, e quando cheguei na derivada ela foi igual a função de novo.
Se eu continuar derivando esse ciclo vai se repetir, isso porque a função cosseno fica indo para a seno e vice versa só variando as vezes o sinal. Então vamos ter
O primeiro, com é somando passamos a ter e a função volta a ser , então sempre que for múltiplo de vai ser . Usando esse mesmo raciocínio podemos ir somando , ou para achar as outras possíveis , assim a nossa é como está escrito ali em cima.
Aqui aconteceu algo que vale a pena ser falado, sempre que você tiver um seno ou um cosseno numa questão dessa de achar padrão da derivada não esqueça dividir de em derivadas a sua análise, então fica ligado nesse detalhe.
Passo 4
Opa, agora temos e , vamos para o que ele pediu
Então nossa função vai ser
Opa, os pedaços acontecem nos mesmos valores de , então podemos juntar essa parada