Determine sendo que
Passo 1
Fazer a primeira derivada
Aqui ele quer a derivada de ordem , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.
A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. E pra gente começar a derivar, precisamos olhar bem fundo nos olhos da função e descobrir o que ela é, então vou deixar aqui pra vocês se olharem:
Bem, ela não é nem e nem e sim uma mistura dos dois! Quando temos uma mistura assim, onde uma função tá dentro da outra, a gente já taca logo uma regra da cadeia. Só pra lembrar, se:
Então a derivada vai ser:
Olhando no fundo dos olhos da nossa função ela vira pra gente e mostra que, no modelo acima, e vão ser:
E suas derivadas:
Show, então a primeira derivada fica:
Passo 2
Fazer as próximas derivadas
Ok, temos a primeira derivada. Mas e agora? Como achar o padrão? Tem jeito não, temos que derivar várias vezes até achar um. Mas olha só uma macete na hora achar o padrão:
Quando derivarmos isso várias vezes, vamos acabar usando a regra do quociente. Pra lembrar também, a regra do quociente vai ser:
Se e , dá uma olhada em como fica a segunda derivada:
Viu que o denominador foi ao quadrado? Então da primeira pra segunda derivada a gente já viu que a ordem do polinômio no denominador subiu em uma unidade. Se a gente derivar de novo e acontecer a mesma coisa então, vai ser show porque estaremos bem encaminhados!
Perceba que tivemos que usar a regra da cadeia de novo pra derivar . Tem jeito não, nessa questão vamos misturar regra do quociente e da cadeia algumas vezes
Vamos derivar mais três vezes só, beleza? A próxima derivada:
E a próxima:
E a última:
Passo 3
Analisar o padrão obtido pelo resultado anterior
Show de bola, vamos reunir tudo que achamos:
A primeira coisa que temos que perceber aqui é que pra não encaixa em nenhum padrão. Afinal, essa é a única derivada que tem em lugar nenhum um termo ! Então vamos achar um padrão para .
Se olharmos as derivadas, vamos ver que:
- Todas as derivadas possuem um termo e um termo
- O termo é negativo toda vez que a ordem de derivação é ímpar e positivo toda vez que a ordem de derivação é par
- O termo é negativo toda vez que a ordem de derivação é par e positivo toda vez que a ordem de derivação é ímpar
- Todas as derivadas possuem uma potência de dividindo de ordem igual à ordem de derivação
- As constantes multiplicando as derivadas seguem a ordem fatorial em relação à ordem da derivada, porém dividido por :
- Constante que multiplica
- Constante que multiplica
- Constante que multiplica
- Constante que multiplica
Juntando todas essas informações, podemos concluir que: