UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 31a
Resolva o problema
no caso seguinte:
Passo 1
E aí galerinha, tudo bem?
Temos aqui um probleminha das nossas famosas EDP: equação diferencial parcial, mais especificamente, a equação do calor.
Como foi dado nas condições de fronteira que:
trata-se de um problema em que as extremidades estão isoladas termicamente. Pois, a taxa de variação da temperatura em nas extremidades da barra é nula.
Também foi dado a condição inicial:
Massa! Sabendo de tudo isso, vamos usar o método de separação das variáveis pra resolver essa EDP, ou seja, usaremos que:
Vamo nessa!
Passo 2
Pra resolver esse tipo de Equação, usamos o método da separação de variáveis. Daí, fazendo:
E, substituindo na EDP, vem:
A única forma da razão dessas funções serem sempre iguais, independente do valor de e de , é se tivermos:
onde é uma constante.
Assim, reduzimos o nosso problema a duas EDO’s:
E:
Beleza!
Daí precisamos analisar os possíveis valores de :
- Se , então:
Testando as condições iniciais:
Como não queremos a solução trivial:
Logo:
Daí, temos:
Ou seja, nos deu a solução trivial, que não estamos interessados...
- Se , então:
Colocando as condições iniciais:
E:
Daí, temos uma solução:
Massa!
- Se , então:
Como:
Pela condição inicial:
Logo:
Como não queremos a solução trivial, devemos ter:
Daí, desconsiderando a constante , temos que as autofunções são:
Perfeito.
Passo 3
Substituindo agora o valor que encontramos para na EDO em , teremos que:
Logo:
Daí, juntando todas as soluções de e , e lembrando que:
Chegamos que:
Pra matar a questão precisamos apenas descobrir quanto vale , e é justamente aí que entra nossa condição inicial, , dada no problema.
Ou seja gente, a nossa solução da EDP para é justamente a extensão par e periódica de .
Assim, o coeficiente para são os coeficientes da série de Fourier de , que podem ser calculados como:
Massa! Nossa missão então se resume a resolver essa integral!
Passo 4
Para resolver a integral que define , vamos separá-la em três partes:
Então, precisamos resolver as três integrais acima. Começando pela primeira, vamos ter que:
que é válido apenas para
Se , então:
Ou seja:
Massa!
Pra resolver as outras duas tem uma transformação trigonométrica bem importante que vamos utilizar, bora revisar:
Assim, temos que, na segunda integral:
Substituindo na segunda integral, teremos:
Mas cuidado, isso só é verdade se . Já já olhamos o que acontece quando . Continuando aplicando os limites de integração...
O problema é que, como , sempre será um número inteiro. Logo:
Perfeito! Agora sim, se , vamos ter:
Portanto, o resultado da segunda integral é:
Muito bom!
Por fim, vamos analisar a última integral.
Usando a mesma transformação trigonométrica, vem que:
Substituindo na integral:
Resolvendo as integrais para , temos:
Novamente, como , temos que o seno é nulo. Logo, para :
Para , ficamos com:
Portanto:
Perfeito!
Passo 5
Juntando todos os resultados obtidos no item anterior, chegamos que:
Assim, podemos escrever a função como sendo:
Ufaaaa!!! Terminamos essa questão!
Deu um trabalho bom mas saiu! Obrigado pela atenção de vocês 😊