Resolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente TODA a análise
Passo 1
Buscamos soluções por separação de variáveis :
Substituindo na equação
Passando tudo que tem para um lado e tudo que tem para o outro lado
Como essa igualdade vale para todo e todo , vamos igualá-la a uma constante
Separando a igualdade em duas equações, você vai encontrar isso aqui...
Substituindo as condições de contorno...
Passo 2
Isso nos dá um PVC em.
Esqueça, por enquanto, a condição que tem uma função: .
Precisamos agora achar
Passo 3
Como temos um problema de autovalor, vamos montar e resolver a equação característica da equação de
Agora vamos analisar cada caso.
Se teremos duas raízes
Nas condições de contorno...
Neste caso, só teremos soluções triviais.
Se teremos duas raízes iguais a a solução da seguinte forma:
Que no nosso caso vai ficar...
Aplicando as condições iniciais
Também só há soluções triviais aqui!
Se , e a solução tem essa cara aqui
Como queremos soluções não triviais
Passo 4
Agora vamos trabalhar nossa função usando a condição inicial
Resolvendo a EDO de primeira ordem vamos ter
Agora sim,
Passo 5
Pelo princípio da superposição, podemos escrever a série
Vamos aplicar a condição:
De cara, percebemos que para , para , Para !
Assim, a série vai ser finita e sua soma: