UFRJ – Cálculo IV – P5 – Questão 3
Considere as equações diferenciais de calor numa barra de tamanho dadas a seguir:
Podemos dizer que a solução que melhor representa é dada por:
Escolha uma opção:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos começar fazendo a separação de variáveis. Vamos supor que a função que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável por outra apenas da variável , dessa forma:
Vamos procurar uma solução dessa forma, com as variáveis separadas. Ok, tem que satisfazer a equação de calor, não é?
(Nesse caso, temos .) Então, vamos substituí-la ai! Temos:
Repare que, derivando em relação a , é vista como constante, o mesmo ocorre para quando derivamos em relação a . Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem e do outro tudo que tem :
Como essa igualdade deve valer para todo e para todo e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:
Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:
Passo 2
Resolver o problema de contorno.
Nós vamos encontrar o e o um de cada vez e, assim, encontrar . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável e a outra na , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!
Passo 3
Tendo o valor de , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental
Temos a seguinte EDO do 1º grau:
Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:
Substituindo :
Sabendo que , podemos escrever:
Passo 4
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO, sabemos que combinações lineares dessas soluções também satisfazem a EDO.
Então, podemos escrever o seguinte:
Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Beleza, agora temos que achar esse de forma que a nosssa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:
Veja que, substituindo na série, temos :
E a letra (a) é a nossa resposta!!
Resposta
a)