Considere as equações diferenciais de calor numa barra de tamanho 1 dadas a seguir:

u x x = u t u 0 , t = 0 ; u 1 , t = 0 ; u x , 0 = - x 2 + 5 x + 1

v x x = u t v 0 , t = 0 ; v 1 , t = 0 ; v x , 0 = 0

w x x = w t v 0 , t = 0 ; v 1 , t = 1 ; w x , 0 = 0

z x x = z t z 0 , t = 5 ; z 1 , t = - 3 ; z x , 0 = - x 2 + 5 x + 1

Podemos dizer que a solução que melhor representa lim t → ∞ ⁡ z ( x , t ) é dada por:

Escolha uma opção:

a) 5 v - 3 w

b) 5 v + 3 w - u

c) u + 5 v - 3 w

d) - 3 v + 5 w

Passo 1

Vamos começar fazendo a separação de variáveis. Vamos supor que a função z ( x , t ) que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável x por outra apenas da variável t , dessa forma:

z x , t = Z x ⋅ T ( t )

Vamos procurar uma solução dessa forma, com as variáveis separadas. Ok, z ( x , t ) tem que satisfazer a equação de calor, não é?

z x x = z t

(Nesse caso, temos α = 1 .) Então, vamos substituí-la ai! Temos:

Z ' ' x ⋅ T t = Z x ⋅ T ' t

Repare que, derivando u ( x , t ) em relação a t , X ( x ) é vista como constante, o mesmo ocorre para t   quando derivamos em relação a x . Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem x e do outro tudo que tem t :

Z ' ' x Z x = T ' t T t

Como essa igualdade deve valer para todo x e para todo t e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:

Z ' ' x Z x = T ' t T t = - λ

Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:

Z ' ' + Z = 0 T ' + λ T = 0

Passo 2

Resolver o problema de contorno.

Nós vamos encontrar o X ( x ) e o T ( t ) um de cada vez e, assim, encontrar u ( x , t ) . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável x e a outra na t , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!

Z ' ' + λ Z = 0

Z 0 = 5

Z 1 = - 3

Passo 3

Tendo o valor de λ n , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental u n ( x , t )

Temos a seguinte EDO do 1º grau:

T ' + λ T = 0

Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:

T t = e - λ t

Substituindo λ :

T n t = e - λ t  

Sabendo que z x , t = Z x ⋅ T ( t ) , podemos escrever:

z n x , t = sen ⁡ ( n π x ) e - λ t             n = 1,2 , 3 …

Passo 4

Escrever z ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Bom, esse z n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO, sabemos que combinações lineares dessas soluções também satisfazem a EDO.

Então, podemos escrever o seguinte:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ ( n π x ) e - λ t    

Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Beleza, agora temos que achar esse b n de forma que a nosssa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:

z x , 0 = - x 2 + 5 x + 1        

Veja que, substituindo t = 0 na série, temos u ( x , 0 ) :

z x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ ( n π x ) ⏟ c n   = 5 v - 3 w    

E a letra (a) é a nossa resposta!!

Resposta

a) 5 v - 3 w

Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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