Encontre a solução do seguinte problema
Onde é a função
Passo 1
Essa EDP trata-se de uma equação de calor homogênea e para resolve-la temos que primeiro utilizar o método de separação de variáveis.
Substituindo na equação teremos
Como na igualdade acima o lado esquerdo não depende de e o lado direito não depende de , ambos deverão ser constantes e iguais a uma constante real .
Disso obtemos as duas EDOs
Passo 2
Vamos analisar as condições de contorno
Como essas igualdades devem valer para todo no nosso intervalo.
Isso nos dá um PVI com a EDO de 2ª ordem em que encontramos no passo anterior.
Passo 3
Como temos uma equação de calor homogênea, nós já sabemos de cara que só teremos soluções não triviais para :
Fazendo o polinômio característico:
Neste caso, só teremos solução não trivial se :
Aplicando valores iniciais:
Como não queremos a solução trivial, temos que:
Para isso:
Passo 4
Vamos resolver a equação de que encontramos no passo 1 utilizando esse
Com isso obtemos a seguinte solução
Passo 5
Vamos utilizar a última condição inicial agora
Caímos numa série de Fourier em senos e precisamos usar aquelas formas que já conhecemos para encontrar os coeficientes.
Aqui vamos ter que fazer uma integração por partes. Lembra da fórmula? Olha só:
Chamando:
Substituindo:
Logo nossa solução será
Onde:
Resposta
Onde: