Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura g_e(t) e g_d(t) , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:

q(0, t) = -K∂x u(0, t) = -h[u(0, t) - g_e(t)],

q(L, t) = -K∂u_L,t/x = h[u_L,t - g_d[t]]

onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.

Suponha que gₑ e g_d são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.

a) Escreva o problema de valor inicial com condições de fronteira para a equação do calor que corresponda com a situação física descrita acima.

Passo 1

Faaaala pessoa, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos uma barra homogênea cujas extremidades são colocadas em dois recipientes com líquidos à temperatura g e ( t ) e g d ( t ) . Posteriormente o enunciado nos fala que:

g e t = g d t = 0

Ou seja, na verdade temos um probleminha em que as extremidades estão sendo mantidas à temperatura fixa e igual a zero.

O enunciado nos pede para escrever o problema de valor inicial com as condições de fronteira.

Isso significa que precisamos escrever a EDP, a condição inicial e também a condição de fronteira (que no caso está representada fisicamente pelas temperaturas constantes e nulas na extremidade da barra).

Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Bom, vamos começar escrevendo a EDP que representa a equação do calor:

∂ t u - α 2 ∂ x x u = 0

Esse α 2 é a difusibilidade térmica que pode ser escrita como:

α 2 = K h

Portanto, a equação do calor se transforma em:

∂ t u - K h ∂ x x u = 0

A condição inicial do problema não foi informada, então consideraremos uma condição mais genérica:

u x , 0 = f ( x )

E, quanto à condição de fronteira, como g e = g d = 0 , as extremidades da barra estão mantidas à temperatura constante e igual a zero.

Por isso, podemos escrever que:

u 0 , t = u L , t = 0

Portanto, resumindo todas essas equações, o nosso problema fica:

∂ t u - K h ∂ x x u = 0 u x , 0 = f ( x ) u 0 , t = u L , t = 0

Prontinho galera!

Obrigado pela atenção 😉

Resposta

∂ t u - K h ∂ x x u = 0 u x , 0 = f ( x ) u 0 , t = u L , t = 0

Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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