UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 41a
Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura e , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:
onde e são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.
Suponha que e são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.
a) Escreva o problema de valor inicial com condições de fronteira para a equação do calor que corresponda com a situação física descrita acima.
Passo 1
Faaaala pessoa, tudo bom com vocês?
Nessa questão temos uma barra homogênea cujas extremidades são colocadas em dois recipientes com líquidos à temperatura e . Posteriormente o enunciado nos fala que:
Ou seja, na verdade temos um probleminha em que as extremidades estão sendo mantidas à temperatura fixa e igual a zero.
O enunciado nos pede para escrever o problema de valor inicial com as condições de fronteira.
Isso significa que precisamos escrever a EDP, a condição inicial e também a condição de fronteira (que no caso está representada fisicamente pelas temperaturas constantes e nulas na extremidade da barra).
Vem com a gente que vai ficar bem claro 😊
Passo 2
Bom, vamos começar escrevendo a EDP que representa a equação do calor:
Esse é a difusibilidade térmica que pode ser escrita como:
Portanto, a equação do calor se transforma em:
A condição inicial do problema não foi informada, então consideraremos uma condição mais genérica:
E, quanto à condição de fronteira, como , as extremidades da barra estão mantidas à temperatura constante e igual a zero.
Por isso, podemos escrever que:
Portanto, resumindo todas essas equações, o nosso problema fica:
Prontinho galera!
Obrigado pela atenção 😉