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Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Responda verdadeiro (V) ou falso (F) para as seguintes questões, justificando-as:

(a) (1pt) Se y 1 ( x ) e y 2 ( x ) são soluções da EDO F y . y ' . y ' ' = 0 , então y x = c 1 y 1 x + c 2 y 2 ( x ) também o é;

(b) (1pt) As funções u n x , t = e - n 2 π 2 α 2 t / L 2 sen ⁡ n π x L   são soluções da equação de calor;

(c) (1pt) A EDO x y ' + 3 y = 6 x 3 é linear de ordem 3;

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que a gente analise cada alternativa e diga se é V ou F.

Vamos para a primeira:

(a) (1pt) Se y 1 ( x ) e y 2 ( x ) são soluções da EDO F y . y ' . y ' ' = 0 , então y x = c 1 y 1 x + c 2 y 2 ( x ) também o é;

Olha,o que essa alternativa está dizendo é o seguinte: se y 1 ( x ) e y 2 ( x ) são soluções da EDO, a combinação linear delas também é solução. Está CORRETA! É isso mesmo. Essa expressão aqui y x = c 1 y 1 x + c 2 y 2 ( x ) é uma forma de expressar a combinação linear.

VERDADEIRO

Passo 2

Vamos agora analisar a segunda alternativa:

(b) (1pt) As funções u n x , t = e - n 2 π 2 α 2 t / L 2 sen ⁡ n π x L   são soluções da equação de calor;

Bom, vamos lembrar como é a equação de calor:

u t = α 2 u x x

Olha, podemos substituir a função na equação de calor e aí saberemos que é solução.

u n x , t = e - n 2 π 2 α 2 t / L 2 sen ⁡ n π x L

u t = - n 2 π 2 α 2 L 2 e - n 2 π 2 α 2 t / L 2 sen ⁡ n π x L

Agora, vamos achar u x x

u x = e - n 2 π 2 α 2 t / L 2 n π L cos ⁡ n π x L

u x x = - e - n 2 π 2 α 2 t L 2   n π L 2 sen ⁡ n π x L

Se a gente fizer α 2 u x x vai ficar exatamente u t .Logo, as funções u n x , t = e - n 2 π 2 α 2 t / L 2 sen ⁡ n π x L são soluções.Afirmativa CORRETA!

VERDADEIRO!

Passo 3

Galera, agora vamos olhar a terceira afirmativa:

(c) (1pt) A EDO x y ' + 3 y = 6 x 3 é linear de ordem 3;

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na

equação. A ordem da maior derivada na nossa EDO é 1, logo a EDO é de ordem 1 e não 3. FALSA.

Resposta

(V) (V) (F)

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