Encontre a solução do problema
Passo 1
Essa EDP trata-se de uma equação de calor homogênea e para resolvê-la temos que primeiro utilizar o método de separação de variáveis.
Substituindo na equação, teremos:
Como na igualdade acima o lado esquerdo não depende de e o lado direito não depende de , ambos deverão ser constantes e iguais a uma constante real .
Disso, obtemos as duas EDOs:
(1)
Passo 2
Vamos analisar as condições de contorno:
Assim, temos que solucionar o problema de contorno
Passo 3
Conforme a solução fornecida no verso da prova, temos que os autovalores, neste caso, são:
e as autofunções associadas com eles são proporcionais com
Com esses dados, substituímos ao sistema encontrado em (1), temos o problema de valor inicial :
Que tem solução geral:
As soluções fundamentais são . Pelo princípio de superposição, a solução geral deste problema é:
Passo 4
Como tem que satisfazer a condição inicial , temos:
Segue das relações de ortogonalidade das funções seno que isto só é possível se:
Logo, a solução deste problema é: