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Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Dado que

u n x , t = e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40 ,     n = 1,2 , …

e solução da equação do calor

u t - u x x = 0

Determine a solução do problema de valor inicial e de contorno

u t - u x x = 0 ,     0 < x < 40 ,       t > 0 u 0 , t = u 40 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < 40 ,     o n d e         f x = 0 ,       0 ≤ x < 10 50 ,       10 ≤ x ≤ 30 0 ,       30 < x ≤ 40

Passo 1

Bom, agora temos a equação de calor

u t - u x x = 0   →       u t = u x x

e uma solução

u n x , t = e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40 ,     n = 1,2 , …

podemos afirmar que uma combinação linear de u n também será solução:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n u n x , t

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n   e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40

Passo 2

Beleza, agora precisamos verificar se essa solução atende as condições de contorno e inicial.

Vamos começar com as de contorno. O que a gente precisa verificar é se

u 0 , t = u 40 , t = 0

Se a gente colocar x = 0 em u n , teremos sen ⁡ 0 = 0 . Logo, independente do valor de t na exponencial a gente vai atender a condição de contorno!

Da mesma forma, em x = 40 , temos sen ⁡ n π = 0 . De novo, atenderemos a condição para qualquer valor de t !

Passo 3

Vamos pra condição inicial

u x , 0 = f x ,     0 < x < 40

Okay, então façamos t = 0 :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ d n   s e n π n x 40

Então está deve ser a Série de Fourier de f ( x ) , com uma extensão ímpar (pois a série é em senos). Então, mãos à obra! Essa extensão será dada por:

f x = - 50 ,       - 30 ≤ x ≤ - 10 50 ,               10 ≤ x ≤ 30 0 ,       s e       - 40 ≤ x < - 30 - 10 < x < 10 30 < x < 40             e                 f x + 80 = f ( x )

Passo 4

Essa função tem período T = 2 L = 80 , logo L = 40 . Beleza, vamos achar os coeficientes da série d n . Ok, você pode chama-los de b n ...

Mas calma aí pequeno gafanhoto, f ( x ) e s e n n π x 40 são funções ímpares, logo seu produto é par. Então vamos simplificar a integral...

b n = 2 . 1 40 ∫ 0 40 f ( x ) sen ⁡ n π x 40 d x

Agora, vamos separar em cada intervalo que temos a expressão de f bem definida!

b n = 2 . 1 40 ∫ 0 10 0 sen ⁡ n π x 40 d x + 2 . 1 40 ∫ 10 30 50 sen ⁡ n π x 40 d x + 2 . 1 40 ∫ 30 40 0 sen ⁡ n π x 40 d x

Portanto, vamos ficar apenas com

b n = 2 . 1 40 ∫ 10 30 50 sen ⁡ n π x 40 d x

b n = - 2.50 40 40 n π c o s n π x 40 10 30

b n = - 100 n π cos ⁡ 3 n π 4 - cos ⁡ n π 4

Passo 5

Mas vamos olhar pra esses cossenos: se n for par ( n = 2 k ), então

cos ⁡ 3.2 k . π 4 - cos ⁡ 2 k π 4 = cos ⁡ 3 k π 2 - cos ⁡ k π 2

E essa diferença vai ser sempre 0 . Viu?

Agora se n é ímpar, n = 2 k + 1 , k ∈ Z + .

cos ⁡ 3 n π 4 - cos ⁡ n π 4 = - 2 cos ⁡ n π 4 = - 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

E tudo se reduz a

b 2 k + 1 = - 100 ( 2 k + 1 ) π - 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

b 2 k + 1 = 200 ( 2 k + 1 ) π cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4

Passo 6

Assim:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n   e - n 2 π 2 t / 1600 s e n π n x 40

u x , t = ∑ k = 0 ∞ d 2 k + 1   e - 2 k + 1 2 π 2 t 1600 s e n π 2 k + 1 x 40

u x , t = ∑ k = 0 ∞ 200 ( 2 k + 1 ) π cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4   e - 2 k + 1 2 π 2 t 1600 s e n π 2 k + 1 x 40

Resposta

u x , t = ∑ k = 0 ∞ 200 ( 2 k + 1 ) π cos ⁡ ( 2 k + 1 ) π 4   e - 2 k + 1 2 π 2 t 1600 s e n π 2 k + 1 x 40

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