UFRJ - Sem Campus - Cálculo 4 - Provas Antigas - PF - 2022.1 - Questão 4
Resolva o problema de condução de calor em uma barra de comprimento metro e com extremidades isoladas:
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
O enunciado nos apresenta um problema de contorno aplicado ao fenômeno de condução de calor em uma barra. O problema de contorno é composto por uma equação diferencial da forma
O fato das extremidades da barra serem isoladas estão representadas pelas condições de contorno
E, o enunciado também nos dá uma condição inicial sobre o sistema, que será necessário para que obtenhamos a solução final
Para resolver este tipo de problemas iremos utilizar o método de separação de variáveis, onde nós iremos propor a seguinte solução para o nosso sistema
e, iremos calcular as funções e adequadas para o sistema descrito! Bora bora que temos bastante trabalho pela frente! Vem comigo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da equação (4) para que possamos utilizá-las na equação (1), temos que
e, da mesma forma, temos que
Substituindo ambos os resultados na equação (1) temos que
Podemos separar as variáveis em cada lado da igualdade, da seguinte maneira
Esta separação ser possível é bastante conveniente pois temos que como cada lado depende de uma variável independente, a única solução possível é que ambos os lados da equação sejam iguais à uma mesma constante! Isso irá reduzir o nosso problema a duas equações diferenciais ordinárias homogêneas! Consegue visualizar? Bora lá!
Passo 3
Da equação (5), temos que
Começando pelo lado esquerdo da equação acima, temos que
Esta é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea, normalmente, precisaríamos resolver o polinômio característico associado e encontrar as raízes associadas a diferentes possibilidades em . No entanto, problemas de contorno com extremidades isoladas apenas apresentam uma solução não trivial para a escolha . O polinômio característico é da forma
De forma que temos raízes da forma
E uma solução que toma o formato
Vamos avaliar as condições de contorno e delimitar os coeficientes constantes na equação (6)! Vem comigo!
Passo 4
A equação (2) nos indica que
Como temos que , temos que as condições iniciais resultam em
Como escolher nos leva a solução trivial, temos que . Vamos aplicar estas condições iniciais sobre a equação (6). Da equação (6) obtemos que
da condição , temos que
Ou seja, temos que . Da mesma forma, temos da condição , que
Evitando a escolha pois isso levaria a solução trivial, temos que a única solução possível é , ou . Portanto, a nossa solução pode ser escrita como
Ainda precisamos estimar nossa função , vamos fazer isso!
Passo 5
Analogamente ao que fizemos para , temos que a equação (5) nos leva à
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem separável, saca só o que podemos fazer
Se multiplicarmos ambos os lados por , temos que
Integrando em ambos os lados obtemos que
Ou, aplicando a função exponencial em ambos os lados temos que
Utilizando o valor de que obtivemos durante a resolução de , podemos escrever que
Vamos escrever a solução geral do nosso problema agora! Saca só!
Passo 6
Podemos utilizar a equação (8) e (7) dentro da equação (4) para escrever que
E pelo princípio da superposição, podemos garantir que a combinação linear destas soluções é a solução mais geral possível, temos então que
Se avaliarmos a condição inicial
Temos que
Ou seja, podemos identificar e como os coeficientes de uma série de Fourier! Vamos utilizar estas definições e calcular a nossa solução!
Passo 7
Os coeficientes podem ser calculados usando que
e que
Note que temos que e , portanto, podemos calcular os coeficientes como
e para o outro coeficiente temos que
Note no entanto, que é uma função ímpar, portanto, integrá-la em um intervalo simétrico nos leva à um resultado nulo. Analogamente, como o cosseno é uma função par, temos que uma função ímpar vezes uma função par resulta em uma função ímpar, e portanto, a integração em limites simétricos também se anula. Desta maneira, podemos argumentar que
e a nossa solução geral é então a solução trivial
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!