Use o método da separação de variáveis para resolver o seguinte problema de condução de calor em uma barra metálica:
Passo 1
OK, temos aqui um problema de distribuição do calor. Para resolver, vamos usar o método da separação de variáveis como a questão pediu. Assim, consideremos:
Para substituirmos na equação, vamos derivar:
E teremos:
Agora, colocamos tudo que é de um lado e tudo que é do outro:
Como temos funções de de um lado e função de do outro, o único jeito dessa igualdade ser verdadeira é se cada razão for igual a uma mesma constante:
Passo 2
A partir dessa relação, podemos encontrar a EDOs associadas. Pela primeira igualdade:
Pela segunda:
OK. Além disso, podemos encontrar as condições de contorno:
Como queremos solução não trivial, resta:
Da mesma forma:
OK, então teremos os problemas associados:
Passo 3
Vamos então começar resolvendo o problema com mais condições.
Pela EDO, teremos a equação característica relacionada:
Isso significa que a nossa solução vai depender de e a fórmula dela muda com o sinal dessa constante. Assim, para resolver, vamos analisar caso a caso.
Caso . Neste caso, teremos que o que está dentro da raiz quadrada será um valor positivo e, portanto, nossa solução será na forma exponencial:
Agora, para saber como se comportam as constantes, temos que aplicar as condições iniciais. Vamos lá?
Já substituindo e aplicando a outra condição:
Entre parênteses, temos a diferença de duas exponenciais distintas, logo isso nunca dará zero. Ou seja, resta:
Portanto teremos somente a solução trivial neste caso. :/
Caso . Aí temos:
Ou seja, teremos duas raízes identicamente nulas. Com isso, nossa solução será uma reta:
Aplicamos novamente as condições para verificar as constantes:
Portanto, novamente:
Vamos para o último caso agora, . Nesta situação teremos:
Ou seja, teremos raízes imaginárias e a solução será na forma de senos e cossenos:
Novamente, aplicamos a condição de :
Agora, para a outra condição:
Como queremos solução não trivial, precisamos que:
Olhando para o círculo trigonométrico, dá para ver que:
Ou seja, teremos:
Para inteiro. Portanto, vamos igualar o que está dentro do seno a isso:
Isolando e lembrando que é um valor positivo:
E esses serão nossos autovalores. Dessa forma, a solução fundamental para será:
Aparece assim mesmo, sem a constante. 😊
Passo 4
Legal, vamos olhar agora para a outra EDO:
Substituindo o valor de , temos:
Observando, vemos que essa é uma EDO do tipo separável. Para resolvê-la, consideramos:
Ficando:
E jogamos tudo que for (zão) de um lado e tudo que for (zinho) do outro:
Agora, podemos integrar dos dois lados:
Para a integral à esquerda:
Para a integral à direita:
Assim, vamos ter:
Definindo para facilitar nossa vida:
E então, vamos poder determinar nosso aplicando a exponencial na equação:
Para emocionar o professor, vamos ainda definir :
E a solução fundamental para será:
Passo 5
Agora que determinamos as duas funções, vamos voltar para definição:
Assim, a solução geral vai ser dada combinação linear das soluções fundamentais que resultará na série:
Passo 6
OK, mas ainda precisamos encontrar o valor de . Para isso, vamos utilizar mais uma condição dada:
Aplicando isso na solução geral:
Olhando para parte à direita da igualdade, vemos que só aparece , ou seja, só aparece o valor correspondente a . Com isso, concluímos que:
E teremos: