Resolva o seguinte problema de condução do calor usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:
Passo 1
Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever
Com a separação, teremos:
Portanto, nossa equação se torna
E isso origina duas equações (uma em e outra em ):
Passo 2
Agora, vamos olhar para as condições iniciais:
De e , se , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em , não atenderia à condição . Logo, .
Passo 3
Neste caso, nos resta admitir o seguinte:
Assim, formamos o seguinte problema:
Buscando uma solução não-trivial , vamos avaliar a equação característica:
Temos um problema de contorno e vamos ter que analisar cada caso de .
Passo 4
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Calculando .
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Passo 5
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Calculando
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos deixa com a solução
Vamos calcular para esse
Nossa solução fica
Temos que analisar agora a condição e isso vai nos dar que.
Passo 6
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Calculando
Aplicando as condições de contorno
Note que na última equação não podemos ter (se não teríamos ). Então, precisamos de . Como , sobra
Passo 7
Como queremos , basta fazer 4, de modo que obtemos . Estes são nossos autovalores!
Portanto, ficamos com
que são nada mais nada menos que nossas autofunções!
Passo 8
Agora que já conhecemos os autovalores , vamos voltar pra equação em :
Fácil, né? Vamos substituir por :
E, assim, uma solução deve ser
Passo 9
Agora vem o pulo do gato. Se qualquer é solução para , então uma combinação linear dessas soluções (para diferentes valores de ) também é solução:
Assim:
Sabendo que
Passo 10
Agora nós vamos fazer um pulo do gato muito legal. Se você olhar bem essa nossa equação, ela é uma soma de cossenos e cada termo de um lado corresponde a um do outro lado. Sendo assim temos.
E todos os outros coeficientes serão iguais a zero. Logo nossa solução será