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Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Questão 2: Considere uma barra uniforme de comprimento 10 para a qual a = 1 a uma temperatura inicial dada por u x ,   0 = 3 ⋅ sin ⁡ π x / 10   ,     0 ≤ x ≤ 10 , com as extremidades mantidas a temperatura 0 . Determine a distribuição de temperaturas u x ,   t da barra.

Passo 1

Bem, trata-se de resolver a equação do calor dada pela nossa teoria:

u x x = u t  

Como as pontas dessa barra estão mantidas a temperatura 0 ...

u 0 ,   t = 0  

u 10 ,   t = 0

Logo, temos que resolver o seguinte problema:

u x x = u t ,               0 ≤ x ≤ 10 u 0 ,   t = 0 =   u 10 ,   t u x ,   0 = 3 ⋅ sin ⁡ π x / 10   ,     0 ≤ x ≤ 10

Bora?

Passo 2

Cara, como temos a equação clássica de equação do calor mantida a uma temperatura fixa nas pontas, a solução também será a solução clássica:

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n e - n 2 π 2 t L 2 sin ⁡ n π x L

Onde L é o comprimento dessa barra:

L = 10

Então a solução é:

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n e - n 2 π 2 t 100 sin ⁡ n π x 10

Agora temos apenas que encontrar esse b n . Partiu então?

Passo 3

Pow, para encontrar esse cara, vamos fazer o seguinte, vamos usar essa equação aqui do nosso problema:

u x ,   0 = 3 ⋅ sin ⁡ π x 10 =

∑ n = 1 ∞ b n e 0 sin ⁡ n π x 10 =

∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n π x 10

Então veja que encontrar b n nada mais é do que os coeficientes de Fourier e podem ser sempre encontrado por:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sin ⁡ n π x 10 d x

Só que veja que aqui temos um problema mais simples, pois a nossa função f x já está em representação de Fourier:

∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n π x 10 = 3 ⋅ sin ⁡ π x 10

Onde o único termo que ele tem é o n = 1 :

b 1 = 3

Para todos os outros...

b n = 0   ( p a r a   n ≠ 1 )

Logo...

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n e - n 2 π 2 t 100 sin ⁡ n π x 10 =

u x ,   t = b 1 e - 1 2 π 2 t 100 sin ⁡ 1 π x 10 =

u x ,   t = 3 e - π 2 t 100 sin ⁡ π x 10

Resposta

u x ,   t = 3 e - π 2 t 100 sin ⁡ π x 10

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