Resolva o seguinte problema do fluxo do calor
Onde
Dica: Avalie os coeficientes da série de Fourier dos senos no caso em que for par e for ímpar.
Passo 1
Essa EDP trata-se de uma equação de calor homogênea e para resolve-la temos que primeiro utilizar o método de separação de variáveis.
Substituindo na primeira equação teremos
Como na igualdade acima o lado esquerdo não depende de e o lado direito não depende de , ambos deverão ser constantes e iguais a uma constante real .
Disso obtemos as duas EDOs
Passo 2
Analisando as condições de contorno vamos ter:
Veja que se , isso implica que , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter . O mesmo ocorre aqui:
Isso nos dá um PVI com a EDO de 2ª ordem em que encontramos no passo anterior.
Passo 3
Resolver o problema de contorno.
Nós vamos encontrar o e o um de cada vez e, assim, encontrar . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável e a outra na , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!
Bom esse é um caso especial, as condições de Dirichlet homogêneas, não é? Nós já falamos sobre a solução desse problema na teoria desse capítulo, mas vamos fazer aqui passo a passo.
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Agora vamos resolver o problema em .
Passo 4
Vamos resolver a equação de que encontramos no passo 1 utilizando esse
Sabendo que , podemos escrever:
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO, sabemos que combinações lineares dessas soluções também satisfazem a EDO.
Então, podemos escrever o seguinte:
Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Beleza, agora temos que achar esse de forma que a nosssa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:
Onde
Veja que, substituindo na série, temos :
Caímos numa série de Fourier em senos e precisamos usar aquelas formas que já conhecemos para encontrar os coeficientes.
Como na nossa função só aparecem senos (e não cossenos) não precisamos nos preocupar com o valor de .
Vamos calcular essa integral então. Temos que:
Para resolver a primeira integral vamos usar a integração por partes:
Considerando:
Substituindo:
Resolvendo agora a segunda integral:
Assim vamos ter que:
Vamos usar a dica que a questão deu.
Quando é ímpar:
e
e
e
Já deu pra perceber que esse padrão vai continuar para todos os outros ímpares. Podemos então concluir que:
e
Se você não entendeu como chegar no , é só pensar que o está elevado a alguma coisa que pode ser par ou ímpar dependendo de , pois assim ele estará variando entre e 1. Como já temos números ímpares representados por . Considerando tanto par quanto ímpar, vai ser sempre ímpar. Então fazemos:
Assim vai ser:
Agora, para par:
e
e
e
Esse padrão vai continuar para todos os outros pares. Podemos então escrever:
e
Assim vai ser:
Resposta
Para ímpar:
Para par: