Calculo 3 – UNICAMP – Exame
Dada a seguinte equação do calor:
- O método de seperação de variáveis supõe que a solução da equação do calor é . Usando esse método mostre como se chega ao sistema abaixo onde é a constante de separação. Analise os casos , e .
- Substituindo os valores , e escolha a extensão par ou ímpar de período que resolve o problema em (a) encontrando a solução . Especifique os coeficientes dessa solução SEM calcular a integral.
Passo 1
Vamos lá a mais uma questão, e essa daqui vai dar um trabalho...
Mas calma! Não se assustem! A questão em si não é difícil, ela só é bem trabalhosa... Isto acontece pois temos que desenvolver toda a solução da equação do calor, e no final ainda temos que indicar como calcularíamos os coeficientes da solução (ainda bem que não precisamos calcular, né)
Sendo assim, vamos começar pela letra a). Acompanhem o raciocínio com calma pra não se perderem! Assim, será só sucesso!!
A questão pede para que a gente trabalhe com a seguinte equação do calor:
O legál é que ele já nos diz como deve ser o formato da solução da nossa EDP. Vamos assumir que ele será dado por . Sendo assim, vamos considerar a solução como o produto de duas funções, uma de e a outra de .
Essa consideração vai ajudar e tanto a nossa vida... Mas bom, continuando, vamos trabalhar com o método em si. Inicialmente, precisamos calcular as derivadas parciais da nossa solução . Isto é importante para que a gente consiga substituir na nossa EDP e fazer a análise.
Sendo assim, calculando as derivadas parciais (se formos derivar em , consideramos a função uma constante, e vice versa), temos:
OBS: a derivada para esta questão não irá servir de nada para nós. Mas, não custava fazer ela também. Era “só colocar” mais uma linha no mesmo...
Passo 2
Bom, brincadeiras de lado, agora que encontramos as derivadas, vamos substituir na EDP que rege o nosso problema. Com isto, temos:
Separando tudo que tem no primeiro membro de tudo que tem no segundo, temos:
A igualdade acima é bem interessante. No primeiro membro temos uma função apenas de . Já no segundo membro temos uma função de (lembrando que estamos considerando o coeficiente como uma constante!).
Isto implica que a equação acima só é verdade se ambos os membros forem iguais a uma constante (funções de variáveis distintas iguais entre si, só podem ser iguais a uma constante). Portanto, temos:
E agora simplificamos o nosso problema. Transformarmos uma EDP em duas EDO’s homogêneas (de primeira ordem em relação a e de segunda ordem em relação a ).
Estamos quase chegando no sistema que a questão pede para demonstrarmos. Só nos resta determinarmos as condições de contorno. Para isto, temos:
Observem as duas equações acima. Como temos um produto de funções igual a zero, ou o termo é zero ou o termo será igual a zero.
Como queremos uma solução para a EDP que seja diferente de zero, então, não podemos afirmar que é igual a 0, independente do valor de . Por causa disto, a única possibilidade de ser igual a zero é se . Logo, essa é a nossa condição de contorno, e temos o seguinte sistema:
A única diferença deste sistema para o da questão é o sinal negativo nas duas primeiras equações. Como não sabemos nada sobre o sinal de (é até a próxima discussão nossa), podemos dizer que (só trocar o sinal nas equações), e portanto,
E assim demonstramos como se chega no sistema da questão!
Passo 3
Nosso trabalho agora é resolvê-las utilizando as condições de contorno do enunciado do problema. Vamos começar resolvendo a EDO em relação a . Somente depois vamos partir para o caso da EDO em função de .
Com isto, temos o seguinte problema:
E quem é ? Ele é positivo? Ou nulo? Será se é negativo??? Está claro que nada sabemos sobre ele. Consequentemente, temos que testar todas as possibilidades!
OBS: podemos pensar que a questão está nos obrigando a verificar essas possibilidades, talvez este seja o maior estímulo...
Sendo assim, vamos as nossas hipóteses! A começar, temos .
Para este caso, a nossa equação característica se transforma em:
Como , a solução desta EDO possui a seguinte forma: .
Para descobrirmos os valores dos coeficientes e vamos utilizar as condições . Mas, antes disto, vamos encontrar quem é a derivada . Portanto,
Substituindo as condições de contorno, temos o seguinte sistema:
Ao resolvermos o sistema acima, vamos obter que . Esta solução é inviável, pois nos retornaria , independente do valor de , o qual foi o mesmo problema que tivemos no Passo 2, só que em relação a função .
Portanto, a EDP não tem solução para !
Passo 4
Agora vamos para a segunda! Vamos assumir que . E com isto, vamos repetir o mesmo procedimento da hipótese anterior. Só que, neste caso, a equação característica transforma em:
Como , a soluç��o desta EDO possui a seguinte forma: . Encontrando quem é a derivada , para podermos substituir as condições de contorno, temos:
Substituindo as condições de contorno, temos o seguinte sistema:
Cuja solução é . Mas o que sabemos em relação a ? Temos aqui alguma restrição??? Não! A constante pode ser qualquer valor. Portanto, é uma solução!
Pensando para que a nossa solução fique no formato da série de Fourier (que aparecerá mais para frente), podemos escrever , a nossa primeira solução fundamental.
Assumindo que , ao voltarmos para a EDO em função de , temos:
Portanto, a solução da EDO acima é , sendo uma constante. Como , e o produto entre duas constantes também é uma constante, então, a nossa primeira solução fundamental como:
Também no formato da série de Fourier.
Passo 5
Por fim, vamos para a última possibilidade. Vamos assumir que . E com isto, vamos repetir o mesmo procedimento. Neste caso, a equação característica transforma em:
Como , a solução desta EDO possui a seguinte forma: . Encontrando quem é a derivada , para podermos substituir as condições de contorno, temos:
Substituindo as condições de contorno, temos o seguinte sistema:
Como , então, da primeira equação, temos . Com isto, a nossa segunda equação se torna:
E isto nos dá duas possibilidades: ou . É claro que a primeira possibilidade não nos interessa, pois teríamos , independente do valor de . Portanto, vamos verificar quais os valores de que satisfazem . Portanto, temos:
Sendo qualquer número inteiro. Com isto, o valor de é:
Guardem o valor de que vamos utilizar para solucionar a função ! Para a nossa função vamos finalizando por aqui. O que obtivemos foi:
E quem é essa constante ? Bom, na real, podemos desconsiderar ela por enquanto. Vamos trabalhar com as soluções fundamentais, as quais são da forma:
Bom, só nos resta agora encontrar a solução para a função (t). Para isto, vamos resolver a EDO de primeira ordem associada a ela, a qual é . E esta é uma EDO separável, dada por:
Integrando ambos os membros, vamos obter a solução:
Novamente, vamos trabalhar com as soluções fundamentais aqui. Portanto,
Então, para cada pertencente aos naturais, quando , temos a seguinte solução fundamental:
Por fim, a solução geral é obtida através de uma combinação linear das duas soluções fundamentais obtidas anteriormente. Portanto, a solução para a nossa EDP será:
E a letra a) está resolvida! Foi uma resolução bem grande, com muitos procedimentos. Mas no final, ela acabou sendo bastante repetitiva. Só devemos tomar muito cuidado para não errarmos nenhuma conta!
Passo 6
E para finalizarmos a questão, devemos resolver a letra b). Agora, só devemos indicar como que calcularemos os coeficientes e que apareceram na solução da nossa EDP.
Aaah! Não podemos esquecer de substituir , e viu!!! Fazendo , temos:
Portanto, o coeficiente será expresso através da seguinte integral:
E o coeficiente , obtido também da série de Fourier em cossenos (extensão par), será:
Apesar de ser bem fácil de cálcular, o termo nos daria um trabalho...
Mas, para a nossa alegria, não precisamos calcular nada! Basta indicarmos como calcular ambos os coeficientes! Logo... finalizamos a questão!!!
Resposta
- Para , não temos nenhuma solução fundamental. Para , obtivemos . Já para , obtivemos .
- Os coeficientes da solução são calculados através das seguintes integrais: