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Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Resolva o problema:

9 u x x = u t ,                 0 < x < 2 ,   t > 0 u 0 ,   t = 0 ,           u 2 ,   t = 0 ,   t > 0 u x ,   0 = f ( x ) ,     0 < x < 2

se a função f x é dada por:

f x = x ,     0 ≤ x ≤ 1 0 ,     1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Cara, tá bem? Isso é uma típica EDP de calor homogênea. Para resolver ela a gente usa um passo a passo que é certeiro e se repete muito nas questões desse tema.

Respira fundo e vem, porque a gente vai arrasar!

Começamos supondo que a solução tem a forma:

u x ,   t = X x ⋅ T t

Se isso é solução, então...

u x x = X ' ' x ⋅ T t

u t = X x ⋅ T ' t

Logo...

9 u x x = u t   →

9 X ' ' x ⋅ T t = X x ⋅ T ' t →

X ' ' x X x = T ' t 9 T t →

Aí a gente iguala isso a uma constante - λ :

X ' ' x X x = T ' t 9 T t = - λ

Então...

X ' ' x X x = - λ

E

T ' t 9 T t = - λ

Portanto, ganhamos duas EDOs:

X ' ' x + λ X x = 0   T ' t = - 9 λ T t      

Passo 2

Antes de resolvermos essas EDO’s temos que encontrar as condições de contorno e condições iniciais para sabermos por qual EDO começarmos. Vamos nessa!

Sabemos que pelas condições de contorno...

u 0 ,   t = 0 ,           u 2 ,   t = 0

Como

u x ,   t = X x ⋅ T t

Então...

u 0 ,   t = 0   →       X 0 T t = 0   →  

Como não queremos a solução trivial T t = 0 , temos:

X 0 = 0

Vamos ter algo parecido aqui

u 2 ,   t = 0   →       X 2 T t = 0   →    

X 2 = 0

Beleza, então veja que a EDO que temos mais informações é a de X ...

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = 0 X 2 = 0

Passo 3

Resolvendo essa EDO por equação característica...

r 2 = - λ       →           r = ± - λ = ± - λ

Então se λ < 0 , temos um argumento positivo na raiz, o que nos dá duas soluções reais e essa solução para equação:

X = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Substituindo as condições de contorno:

X 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = c 1 + c 2 = 0   →

c 1 = - c 2

E...

X 2 = - c 2 e 2 - λ + c 2 e - 2 - λ = 0

Como as exponenciais não são nulas...

c 2 = - c 1 = 0

Então essa solução é a trivial! A gente não a quer. Vamos ver considerando λ = 0 . Teríamos a solução da forma:

X = c 1 e 0 x + c 2 x e 0 x   → c 1 + c 2 x   →

X 0 = 0     →         c 2 = 0

X 2 = 0     →           c 1 = 0

Também deu a trivial, a gente não quer!

Passo 4

Logo, a única opção que sobrou pra gente é...

λ > 0

O que nos dá raízes complexas:

r = 0 ± λ i

Aí a solução fica:

X x = e 0 x ⋅ c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x =

c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Aplicando as condições agora...

X 0 = 0         →             X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 =

c 1 = 0

E

X 2 = 0         →             X 2 = c 1 cos ⁡ 2 λ + c 2 sen ⁡ 2 λ   →

X 2 = c 2 sen ⁡ 2 λ

Considerando c 2 diferente de 0 , para o seno ser 0 , esse termo dele tem que ser múltiplo de π ...

2 λ = n π   →

λ = 1 4 n 2 π 2

Esses são os autovalores, e as autofunções são:

X n x = sen ⁡ 1 2 n π x

Passo 5

Com esses autovalores podemos procurar a solução dessa outra EDO aqui:

T ' t = - 9 λ T t   →

d T d t = - 9 λ T ∴ 1 T d T = - 9 λ d t

Percebe que isso é uma EDO separável, aí a gente pode fazer:

ln ⁡ T = - 9 λ t + C ∴ T = K e - 9 λ t

Mas a gente viu que

λ = 1 4 n 2 π 2

Então

T = K e - 9 λ t ∴ T = b n e - 9 4 n 2 π 2 t

Onde b n é uma constante de solução para cada n .

Passo 6

A solução para cada n então é:

u n x ,   t = X n x ⋅ T n t =

u n x ,   t = b n e - 9 4 n 2 π 2 t sen ⁡ 1 2 n π x

Assim, o resultado do problema homogêneo é a soma de todas as soluções lineares:

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n e - 9 4 n 2 π 2 t sen ⁡ 1 2 n π x

Passo 7

Achou que tinha acabado, meu jovem? Ainda falta saber quem é b n pela outra condição que não utilizamos:

u x ,   0 = f x ,     0 < x < 2

f x = x ,     0 ≤ x ≤ 1 0 ,     1 ≤ x ≤ 2

Então...

u x ,   0 = ∑ n = 1 ∞ b n e 0 sen ⁡ 1 2 n π x →

u x ,   0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ 1 2 n π x = f ( x )

Perceba, que esse b n são os índices de uma série de Fourier em senos, e ela pode ser encontrada de acordo com Fourier para série apenas de senos:

b n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) sen ⁡ 1 L n π x   d x →

Para a gente, L = 2 (tamanho do intervalo de x ):

b n = ∫ 0 2 f x sen ⁡ n π x 2   d x

Mas a gente viu que no intervalo 1,2 , f x = 0 , então a gente só precisa calcular essa integral no intervalo 0,1 , porque nele f x = x :

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2   d x

Passo 8

Agora é calcular essa belezura

Integrando por partes...

u = x                     e                   d v = sen ⁡ n π x 2   d x

Logo...

d u = d x                     e                   v = - cos ⁡ n π x 2 n π 2 = - 2 n π cos ⁡ n π x 2

Como...

∫ u d v = u v - ∫ v d u   →

∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2   d x = - x ⋅ 2 n π cos ⁡ n π x 2   0 1 + ∫ 0 1 2 n π cos ⁡ n π x 2   d x →

→ - 2 n π cos ⁡ n π 2   + 2 n π sen ⁡ n π x 2 n π 2 0 1 = - 2 n π cos ⁡ n π 2   + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2

Passo 9

Aí a gente substitui isso na nossa solução:

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n e - 9 4 n 2 π 2 t sen ⁡ 1 2 n π x →

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ - 2 n π cos ⁡ n π 2   + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 e - 9 4 n 2 π 2 t sen ⁡ 1 2 n π x

Resposta

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ - 2 n π cos ⁡ n π 2   + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 e - 9 4 n 2 π 2 t sen ⁡ 1 2 n π x

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