Resolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:

Mas vamos lá, o problema deu condições de contorno de , mas não de ou de , e sem condições de contorno não conseguiremos resolver essas duas EDOs, vamos ver se conseguimos tirar proveito das condições de contorno que o problema deu? A equação que supomos é:

As condições de contorno que o exercício deu são

Mas cara, se então , e isso é solução trivial, então só nos resta

Vamos deixar a última condição pra depois, agora temos o seguinte, duas condições para e uma edo de grau 2, ou seja, dá pra resolver ela, vamos ajeitar os dados aqui:

Pela nossa experiência de EDO, já sabemos que a reposta vai mudar dependendo do que encontrarmos na raiz da equação característica, e se vai ser raiz repetida, real ou imaginária vai depender de ! Então vamos analisar cada possibilidade para :

A equação fica:

Ou seja, só integrei duas vezes, agora vamos aplicar as condições de contorno:

Então a equação já ficou

, porque é o comprimento da barra, logo é

Mas ué, então ficou

Daí a gente tem que a solução seria porque

Isso é a solução trivial, não é do nosso interesse, então vamos retirar essa possibilidade.

A equação fica:

A equação característica fica:

Como , então a raiz disso é um número real

Então a solução seria:

Show, então vamos aplicar as condições de contorno:

Da primeira equação temos que , substituindo isso na segunda:

Colocando em evidência:

Então temos duas possibilidades

A primeira:

E por fim a segunda:

Como só a segunda faz sentido, daí concluímos que e por fim

Que novamente, não é do nosso interesse!

Vamos ao último caso:

A equação fica:

A equação característica fica:

Agora temos raízes complexas, e pela nossa experiência de EDOs de grau 2, vemos que essa solução é uma combinação de senos e cossenos:

E vamos aplicar as condições de contorno:

Então até agora

Aplicando a outra condição:

Então temos duas possibilidades:

Sabemos que a segunda possibilidade acontece sempre que o argumento do seno é um múltiplo inteiro de :

Ae! Finalmente uma solução que não seja a trivial, então para que tenha essa cara, a solução é:

(Obs:Tirei a constante por enquanto, depois vamos fazer uma combinação linear e ela vai aparecer, ok? Eu quis mostrar a cara da solução)

Mas calma galera, isso não é a resposta! Não esquece que estamos procurando

Vamos ver como ficou a EDO de :

Substituindo :

Bem bem, isso daí é uma equação diferencial separável galera!

Integrando de ambos os lados:

Aplicando exponencial de ambos os lados:

Mas sabemos que , assim fica:

Vou tirar essa constante:

Então a cara da solução é:

Ou seja, a solução geral vai ser a combinação linear de todas as soluções possíveis:

Podemos expressar isso como um somatório:

Sabemos que , eu quis colocar só aqui no final porque iria ficar muito numérico se fizesse isso antes, ok?

Por isso tiramos as constantes no caminho, de qualquer forma faríamos essa combinação linear no final!

Yes! É a resposta! Mas quem diabos é ?

Beleza, vimos que a solução geral é:

Revisa com a gente, usamos 2 condições que ele deu no exercício:

Mas e essa aqui : ??

Não usamos essa ainda galera, certamente vai ser ela que nos dar à luz de como achar ! Então vamos ver isso:

Isso só é verdade se os coeficientes de cada função trigonométrica de cada lado que possui os mesmos argumentos são iguais. “Eta? Tendi não” Calma, é basicamente o seguinte, essa igualdade que obtivemos no final só é verdade se o senos do lado esquerdo que possuem o mesmo argumento que a do lado direito teverem exatamente o mesmo coeficiente, então vamos reescrever isso daí pra ficar mais claro:

Daí concluímos que:

Sacou?? que é exatamente o argumento do seno na condição inicial que foi dada, e assim por diante! Então substituindo as constantes, a solução é:

Calculando os termos do expoente:

Espero que tenha fica tudo claro, galerinha! Terminamos!