UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 5a
Verifique que as funções e satisfazem a equação do calor.
Passo 1
Fala aí galera, tudo bom?
Nessa questão recebemos duas funções da posição, e do tempo :
E, precisamos verificar se essas funções são soluções da equação do calor.
Vocês lembram qual é essa equação?
A equação do calor é uma EDP da seguinte forma:
Então galera, pra saber se essas funções são realmente soluções da equação do calor, vamos substituí-las nessas equações. Para isso, precisaremos calcular os termos:
Show de bola! Vamo nessa!
Passo 2
Vamos começar verificando se a função:
é função da nossa EDP.
Vamos ter:
E:
Derivando mais uma vez:
Massa! Daí, substituindo na EDP, vem que:
Excelente!! O lado esquerdo, quando substituímos a função dada, realmente vale zero. Portanto. de fato, é solução da EDP.
Passo 3
Vamos agora analisar o caso de:
Daí, derivando com relação :
Perfeito! Vamos agora calcular as derivadas parciais com relação a :
Daí, derivando mais uma vez com relação a :
Massa! Daí, substituído na equação do calor:
Portanto, essa função também é solução da equação do calor.
Prontinho galera! Obrigado pela atenção 😊
Resposta
Resposta no texto.