Considere a função periódica de período , que no intervalo é definida por
- Determine os coeficientes de Fourier de .
- Use o teorema de Fourier para calcular a soma da série,
- Resolva o problema de condução de calor:
Passo 1
Ok, vamos letra por letra. Começando (adivinhe só) pela letra (a)!
Legal, vejamos que:
Portanto, esta é uma função par. Isso significa que teremos somente os termos (inclusive ) da formula geral:
Sendo, por definição:
Como a função tem período e a função geral se refere a funções de período , teremos . Além disso, como a função é par:
Um já foi, vamos para o próximo:
Vamos separar essa integral para melhorar:
Legal, assim vamos ter:
Pelo círculo trigonométrico, teremos que:
Assim:
Show. Vamos para a próxima:
Essa vamos ter que resolver por integração por partes, com:
Assim, vamos ter:
Sendo que:
Agora o valor não será nulo, temos:
Assim, vamos ter:
Ou seja, para par e para ímpar. Show. Logo a integral vai ficar:
Assim, teremos:
E lá do :
Quando for par, teremos:
Quando for ímpar:
Portanto, somente os termos ��mpares serão não nulos e para representa-los, vamos fazer a substituição , ficando:
Além de, como a função é ímpar:
Passo 2
A letra (a) já foi. Vamos agora para a letra (b). Pelo teorema de Fourier, sabemos que vai ser igual a série de Fourier nos pontos em que for contínua.
Beleza, mas o que isso tem a ver com isso
Bem, olha lá. A partir dos coeficientes que achamos na letra (a), temos que a série de Fourier associada à função vai ser:
Dependendo do valor de , conseguimos chegar muito próximo da série que ele pediu. Neste caso, para :
Já tá muito próximo do que queremos. Observando a função dada
Temos que a função é contínua em contínua em , já que:
Assim, teremos . Logo conseguimos associar a série a um valor numérico e só isolar para chegar no valor desejado:
Passo 3
Show, vamos para a letra (c) agora. Temos o problema:
Sem desespero, vamos aplicar o método da separação de variáveis:
Para substituir na EDP, derivamos convenientemente:
Show, agora teremos:
E então colocamos tudo que for de um lado e tudo que for do outro:
Como temos função de de um lado e função de do outro, o único jeito dessa igualdade ser verdadeira é se for igual a uma constante:
A partir disso, conseguimos chegar nas EDOs associadas. Para cada igualdade, temos:
Da mesma forma:
Legal, agora a partir das condições de contorno, conseguimos achar algumas condições para essas funções:
Como queremos soluções não triviais:
Da mesma maneira:
Assim, teremos os problemas:
Vamos começar resolvendo o que tem condições de contorno. Vamos ter a equação característica:
OK, como as raízes da equação característica dependem de , vamos estudar caso a caso o sinal dele para ver como fica a nossa solução. Quando , teremos duas raízes reais e distintas. Logo, vamos ter uma solução na forma exponencial:
Para determinar as constantes, aplicamos as condições. Mas para isso, derivamos:
Agora aplicamos:
Como , resta:
Show, substituindo e aplicando a segunda condição:
Temos entre parênteses duas exponenciais distintas, então resta:
Logo, só teremos a solução trivial neste caso:
Vamos ver então o que acontece para . Neste caso, teremos:
Ou seja, teremos duas raízes identicamente nulas e a solução será na forma de uma reta:
Derivando:
E nada mais podemos tirar da outra condição. Assim, nossa solução nesse caso será da forma:
E a solução fundamental associada vai ser:
Guarda ela no coração e vamos seguir. Vamos ver agora . Neste caso, teremos:
Ou seja, teremos duas raízes imaginárias e nossa solução será com senos e cossenos:
Para aplicar as condições, derivamos:
Agora, teremos:
Aplicando a outra condição:
Como buscamos soluções não triviais, precisamos que:
Isso acontece para quando temos seno na forma:
Portanto igualamos o argumento do seno a isso:
Isolando :
Como neste caso:
Que serão os autovalores associados. Desconsiderando a constante e substituindo esse valor, chegamos na segunda solução fundamental:
Guardamos essa solução no heart também e vamos para a outra EDO:
Essa é uma EDO separável, teremos:
Integrando dos dois lados:
Definimos e vamos ter:
Vimos que ou , portanto, teremos:
Quase lá, hein?! Assim teremos:
A solução geral será dada pela combinação linear de todas as soluções fundamentais que encontramos:
Para encontrar essas constantes, vamos para a última condição:
Assim:
Comparando, vemos que as constantes são os coeficientes de Fourier de que encontramos na letra (a). Assim, vamos ter:
E é isso. (Ufa!) HAHA