Considere a função periódica de período 4 , que no intervalo - 2,2 é definida por

f x = 2 2 + x ,     - 2 ≤ x < 0 , 2 2 - x ,     0 ≤ x ≤ 2 .

  1. Determine os coeficientes de Fourier de f .
  2. Use o teorema de Fourier para calcular a soma da série,
  3. ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

  4. Resolva o problema de condução de calor: 4 u x x = u t ,     0 ≤ x ≤ 2 ,     t > 0 u x 0 , t = 0 ,     u x 2 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = f x ,     0 ≤ x ≤ 2 .

Passo 1

Ok, vamos letra por letra. Começando (adivinhe só) pela letra (a)!

Legal, vejamos que: f - x = 2 2 + - x = 2 2 - x = f x

Portanto, esta é uma função par. Isso significa que teremos somente os termos a n (inclusive a 0 ) da formula geral:

S x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

Sendo, por definição: a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

Como a função tem período 4 e a função geral se refere a funções de período 2 L , teremos L = 2 . Além disso, como a função é par: a 0 = 2 2 ∫ 0 2 2 2 - x d x = 2 ∫ 0 2 2 - x d x = 2 2 x - x 2 2 0 2 = 2 4 - 2 = 4

a 0 = 4

Um já foi, vamos para o próximo:

a n = 2 2 ∫ 0 2 2 2 - x cos ⁡ n π x 2 d x = 2 ∫ 0 2 2 - x cos ⁡ n π x 2 d x

Vamos separar essa integral para melhorar:

2 ∫ 0 2 2 - x cos ⁡ n π x 2 d x = 4 ∫ 0 2 cos ⁡ n π x 2 d x - 2 ∫ 0 2 x cos ⁡ n π x 2 d x

Legal, assim vamos ter:

∫ 0 2 cos ⁡ n π x 2 d x = 2 n π ⋅ sen ⁡ n π x 2 0 2 = 2 n π sen ⁡ n π - sen ⁡ 0

Pelo círculo trigonométrico, teremos que:

sen ⁡ 0 = sen ⁡ π = sen ⁡ 2 π = sen ⁡ 3 π = … = 0

Assim:

∫ 0 2 cos ⁡ n π x 2 d x = 0

Show. Vamos para a próxima:

∫ 0 2 x cos ⁡ n π x 2 d x

Essa vamos ter que resolver por integração por partes, com:

u = x v = 2 n π ⋅ sen ⁡ n π x 2 d u = d x d v = cos ⁡ n π x 2 d x

Assim, vamos ter:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 0 2 x cos ⁡ n π x 2 d x = x 2 n π ⋅ sen ⁡ n π x 2 0 2 - 2 n π ∫ 0 2 sen ⁡ n π x 2 d x

Sendo que:

x 2 n π ⋅ sen ⁡ n π x 2 0 2 = 4 n π sen ⁡ n π - sen ⁡ 0 = 0

∫ 0 2 sen ⁡ n π x 2 d x = 2 n π ⋅ cos ⁡ n π x 2 0 2 = 2 n π cos ⁡ n π - cos ⁡ 0

Agora o valor não será nulo, temos: cos ⁡ 0 = cos ⁡ 2 π = cos ⁡ 4 π = … = 1

cos ⁡ π = cos ⁡ 3 π = cos ⁡ 5 π = … = - 1

Assim, vamos ter:

cos ⁡ n π = - 1 n

Ou seja, 1 para n par e - 1 para n ímpar. Show. Logo a integral vai ficar: ∫ 0 2 sen ⁡ n π x 2 d x = 2 n π - 1 n - 1

Assim, teremos: ∫ 0 2 x cos ⁡ n π x 2 d x = - 2 n π ⋅ 2 n π - 1 n - 1

∫ 0 2 x cos ⁡ n π x 2 d x = - 4 n 2 π 2 - 1 n - 1

E lá do a n :

a n = 4 ∫ 0 2 cos ⁡ n π x 2 d x - 2 ∫ 0 2 x cos ⁡ n π x 2 d x

a n = - 8 n 2 π 2 - 1 n - 1

Quando n for par, teremos:

a n = - 8 n 2 π 2 1 - 1 = 0

Quando n for ímpar: a n = - 8 n 2 π 2 - 1 - 1 = 16 n 2 π 2

Portanto, somente os termos ��mpares serão não nulos e para representa-los, vamos fazer a substituição n = 2 k - 1 , ficando: a 2 k - 1 = 16 2 k - 1 2 π 2

Além de, como a função f x é ímpar:

b n = 0

Passo 2

A letra (a) já foi. Vamos agora para a letra (b). Pelo teorema de Fourier, sabemos que f x vai ser igual a série de Fourier nos pontos em que f x for contínua.

Beleza, mas o que isso tem a ver com isso

∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2   ? ? ?

Bem, olha lá. A partir dos coeficientes que achamos na letra (a), temos que a série de Fourier S x associada à função f x vai ser: S x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 2

S x = 2 + ∑ k = 1 ∞ 16 2 k - 1 2 π 2 ⋅ cos ⁡ 2 k - 1 π x 2

Dependendo do valor de x , conseguimos chegar muito próximo da série que ele pediu. Neste caso, para x = 0 :

S 0 = 2 + ∑ k = 1 ∞ 16 2 k - 1 2 π 2

Já tá muito próximo do que queremos. Observando a função dada

f x = 2 2 + x ,     - 2 ≤ x < 0 , 2 2 - x ,     0 ≤ x ≤ 2 .

Temos que a função é contínua em contínua em x = 0 , já que: f 0 - = 2 2 + 0 = 4

f 0 + = 2 2 - 0 = 4

f 0 - = f 0 +

Assim, teremos S 0 = f 0 = 4 . Logo conseguimos associar a série a um valor numérico e só isolar para chegar no valor desejado:

f 0 = S 0 = 4 = 2 + ∑ k = 1 ∞ 16 2 k - 1 2 π 2

2 = 16 π 2 ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2 = π 2 8

Passo 3

Show, vamos para a letra (c) agora. Temos o problema:

4 u x x = u t ,     0 ≤ x ≤ 2 ,     t > 0 u x 0 , t = 0 ,     u x 2 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = f x ,     0 ≤ x ≤ 2 .

Sem desespero, vamos aplicar o método da separação de variáveis:

u x , t = X x T t

Para substituir na EDP, derivamos convenientemente: u x x = X ' ' x T t

u t = X x T ' t

Show, agora teremos:

4 X ' ' x T t = X x T ' t

E então colocamos tudo que for x de um lado e tudo que for t do outro:

4 X ' ' x X x = T ' t T t

Como temos função de x de um lado e função de t do outro, o único jeito dessa igualdade ser verdadeira é se for igual a uma constante:

4 X ' ' x X x = T ' t T t = λ

A partir disso, conseguimos chegar nas EDOs associadas. Para cada igualdade, temos: 4 X ' ' x = λ X x

4 X ' ' x - λ X x = 0

Da mesma forma:

T ' t - λ T t = 0

Legal, agora a partir das condições de contorno, conseguimos achar algumas condições para essas funções:

u x 0 , t = 0 ⟹ X ' 0 T t = 0

Como queremos soluções não triviais: X ' 0 = 0

Da mesma maneira: u x 2 , t = 0 ⟹ X ' 2 T t = 0

X ' 2 = 0

Assim, teremos os problemas: 4 X ' ' x - λ X x = 0 X ' 0 = X ' 2 = 0

T ' t - λ T t = 0

Vamos começar resolvendo o que tem condições de contorno. Vamos ter a equação característica: 4 r 2 - λ = 0

r = ± 1 2 λ

OK, como as raízes da equação característica dependem de λ , vamos estudar caso a caso o sinal dele para ver como fica a nossa solução. Quando λ > 0 , teremos duas raízes reais e distintas. Logo, vamos ter uma solução na forma exponencial:

X x = A e 1 2 λ x + B e - 1 2 λ x

Para determinar as constantes, aplicamos as condições. Mas para isso, derivamos: X ' x = 1 2 λ ⋅ A ⋅ e 1 2 λ x - 1 2 λ ⋅ B ⋅ e - 1 2 λ x

Agora aplicamos: X ' 0 = 1 2 λ ⋅ A ⋅ e 0 - 1 2 λ ⋅ B ⋅ e 0 = 0

1 2 λ A - B = 0

Como λ > 0 , resta:

A - B = 0 ⟹ A = B

Show, substituindo e aplicando a segunda condição: X ' 2 = 1 2 λ ⋅ B ⋅ e 1 2 λ ⋅ 2 - 1 2 λ ⋅ B ⋅ e - 1 2 λ ⋅ 2 = 0

1 2 λ ⋅ B e λ - e - λ = 0

Temos entre parênteses duas exponenciais distintas, então resta:

A = B = 0

Logo, só teremos a solução trivial neste caso: X x = 0

Vamos ver então o que acontece para λ = 0 . Neste caso, teremos: r = ± 1 2 λ = 0  

Ou seja, teremos duas raízes identicamente nulas e a solução será na forma de uma reta: X x = A + B x

Derivando:

X ' x = B

X ' 0 = B = 0

E nada mais podemos tirar da outra condição. Assim, nossa solução nesse caso será da forma: X x = A

E a solução fundamental associada vai ser: X n 1 x = 1

Guarda ela no coração e vamos seguir. Vamos ver agora λ < 0 . Neste caso, teremos:

r = ± 1 2 λ = ± 1 2 i λ

Ou seja, teremos duas raízes imaginárias e nossa solução será com senos e cossenos: X x = A cos ⁡ 1 2 λ x + B sen ⁡ 1 2 λ x

Para aplicar as condições, derivamos: X ' x = - 1 2 λ ⋅ A ⋅ sen ⁡ 1 2 λ x + 1 2 λ ⋅ B ⋅ cos ⁡ 1 2 λ x

Agora, teremos: X ' 0 = - 1 2 λ ⋅ A ⋅ sen ⁡ 0 + B 1 2 λ cos ⁡ 0 = 0

B 1 2 λ = 0

B = 0

Aplicando a outra condição: X ' 2 = - 1 2 λ ⋅ A ⋅ sen ⁡ 1 2 λ ⋅ 2 = 0

- 1 2 λ ⋅ A ⋅ sen ⁡ λ = 0

Como buscamos soluções não triviais, precisamos que:

sen ⁡ λ = 0

Isso acontece para quando temos seno na forma: sen ⁡ n π

Portanto igualamos o argumento do seno a isso: λ = n π

Isolando λ :

λ = n 2 π 2

Como λ < 0 neste caso:

λ n = - n 2 π 2

Que serão os autovalores associados. Desconsiderando a constante e substituindo esse valor, chegamos na segunda solução fundamental:

X x = A cos ⁡ 1 2 λ x

X n 2 x = cos ⁡ n π x 2

Guardamos essa solução no heart também e vamos para a outra EDO:

T ' t - λ T t = 0

Essa é uma EDO separável, teremos: d T d t = λ T t

d T T = λ d t

Integrando dos dois lados:

∫ d T T = λ ∫ d t

ln ⁡ T = λ t + K

T t = e K ⋅ e λ t

Definimos C = e K e vamos ter:

T t = C e λ t

Vimos que λ = 0 ou λ n = - n 2 π 2 , portanto, teremos: T n 1 t = 1

T n 2 t = e - n 2 π 2 t

Quase lá, hein?! Assim teremos:

u n 1 x , t = X n 1 x T n 1 t = 1 ⋅ 1 = 1

u n 2 x , t = X n 2 x T n 2 t = e - n 2 π 2 t cos ⁡ n π x 2

A solução geral será dada pela combinação linear de todas as soluções fundamentais que encontramos:

u x , t = C 1 + ∑ n = 1 ∞ C n e - n 2 π 2 t cos ⁡ n π x 2

Para encontrar essas constantes, vamos para a última condição:

u x , 0 = f x

Assim: u x , 0 = C 1 + ∑ n = 1 ∞ C n e 0 cos ⁡ n π x 2 = f x

u x , 0 = C 1 + ∑ n = 1 ∞ C n cos ⁡ n π x 2 = f x

Comparando, vemos que as constantes são os coeficientes de Fourier de f x que encontramos na letra (a). Assim, vamos ter:

a 0 2 = 2

a 2 k - 1 = 16 2 k - 1 2 π 2

u x , t = 2 + ∑ k = 1 ∞ 16 2 k - 1 2 π 2 e - 2 k - 1 2 π 2 t cos ⁡ 2 k - 1 π x 2

E é isso. (Ufa!) HAHA

Resposta

  1. a 0 2 = 2 ,   a 2 k - 1 = 16 2 k - 1 2 π 2 ,   b n = 0  
  2. ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2 = π 2 8
  3. u x , t = 2 + ∑ k = 1 ∞ 16 2 k - 1 2 π 2 e - 2 k - 1 2 π 2 t cos ⁡ 2 k - 1 π x 2

Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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