Determine a solução do problema
Onde
Passo 1
Essa EDP trata-se de uma equação de calor homogênea e para resolve-la temos que primeiro utilizar o método de separação de variáveis.
Substituindo na equação teremos
Como na igualdade acima o lado esquerdo não depende de e o lado direito não depende de , ambos deverão ser constantes e iguais a uma constante real .
Disso obtemos as duas EDOs
Passo 2
Vamos analisar as condições de contorno
Como essas igualdades devem valer para todo no nosso intervalo.
Isso nos dá um PVI com a EDO de 2ª ordem em que encontramos no passo anterior.
Passo 3
Como temos uma equação de calor homogênea, nós já sabemos de cara que só teremos soluções não triviais para e essas soluções terão o seguinte formato.
E quando você usar as condições que ele deu:
Vai achar que:
Ficou com dúvida? Dá uma olhada lá na teoria por que o lambda tem esse valor. Pra equações de calor homogêneas isso é uma fórmula.
Porém, a solução pode variar de acordo com as condições que o problema dá (pode ser em seno ou cosseno). Nesse caso, tem que ser em cosseno pra atender às condições, sacou?
Como nesse caso , teremos.
Passo 4
Vamos resolver a equação de que encontramos no passo 1 utilizando esse
Com isso obtemos a seguinte solução:
Passo 5
Vamos utilizar a última condição inicial agora
Caímos numa série de Fourier em cossenos e precisamos usar aquelas formas que já conhecemos para encontrar os coeficientes.
Como na nossa função só aparecem cossenos (e não senos) não precisamos nos preocupar com o valor de .
Vamos calcular essa integral então. Teremos que:
Assim:
Logo nossa solução será