Use o método da separação de variáveis para resolver o seguinte problema de condução de calor em uma barra metálica:
Passo 1
Aplicando a separação de variáveis:
Substituindo na equação de calor:
O que nos dá
Aplicando a separação de variáveis para as condições de contorno de :
Passo 2
Temos agora que resolver o problema de contorno em :
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Agora vamos resolver o problema em .
Passo 3
Tendo o valor de , vamos resolver a outra EDO e achar a solução fundamental
Temos a seguinte EDO do 1º grau:
Resolvendo essa EDO chegamos a:
Sabendo que , podemos escrever:
Dado que a ultima condição é:
Chegamos a conclusão que: