Use o método da separação de variáveis para resolver o seguinte problema de condução de calor em uma barra metálica:

u t = t 2 u x x ,         0 < x < 1 u 0 , t = u 1 , t = 0 ,       t > 0 u x , 0 = sen ⁡ 3 π x ,         0 < x < 1

Passo 1

Aplicando a separação de variáveis:

u x , t = X x T t

Substituindo na equação de calor:

t 2 X ' ' x T ( t ) = X ( x ) T ' ( t )

X ' ' x X x = T ' t t 2 T t = - λ

O que nos dá

  X ' ' + λ X = 0 T ' + λ t 2 T = 0

Aplicando a separação de variáveis para as condições de contorno de x :

u 0 , t = 0         →           X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 0 = 0

u 1 , t = 0         →           X 1 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 1 = 0

Passo 2

Temos agora que resolver o problema de contorno em x :

X ' ' + λ X = 0

X 0 = X 1 = 0

Temos a seguinte equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Caso 1: ∆ > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

X 1 = c 1 e - λ + c 2 e - - λ = 0

Isso nos dá

c 2 = - c 1

c 1 e - λ - c 1 e - - λ = 0

c 1 ( e - λ - e - - λ ⏟ ≠ 0 ) = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 = 0

X 1 = c 1 + c 2 = 0

Isso nos dá

1 c 2 = 0

c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

X 1 = c 1 cos ⁡ λ + c 2 sen ⁡ λ = 0

Isso nos dá

c 2 sen ⁡ λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

λ = n π             n = 1,2 , 3 …

λ n = ( n π ) 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

X n x = sen ⁡ n π x                 n = 1,2 , 3 …

Agora vamos resolver o problema em t .

Passo 3

Tendo o valor de λ n , vamos resolver a outra EDO e achar a solução fundamental u n ( x , t )

Temos a seguinte EDO do 1º grau:

T ' + ( n π ) 2 t 2 T = 0

Resolvendo essa EDO chegamos a:

T t = e - n 2 π 2 t 3 3

Sabendo que u x , t = X x ⋅ T ( t ) , podemos escrever:

u n = sen n π x e - n 2 π 2 t 3 / 3  

Dado que a ultima condição é:

u x , 0 = sen ⁡ 3 π x

Chegamos a conclusão que:

u x , t = sen 3 π x e - 3 2 π 2 t 3 / 3

u x , t = sen 3 π x e - 3 π 2 t 3

Resposta

u x , t = sen 3 π x e - 3 π 2 t 3

Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados