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Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Questão 2: Resolva o problema de condução de calor em uma barra metálica:

25 u x x = u t ,                 0 < x < 5 ,   t > 0 u 0 ,   t = 0 ,           u 5 ,   t = 0 ,   t > 0 u x ,   0 = 2 - x ,     0 < x < 5

Passo 1

Então, talvez a gente consiga resolvê-la por separação:

u x ,   t = X x ⋅ T t

Se isso é solução, então...

u x x = X ' ' x ⋅ T t

u t = X x ⋅ T ' t

Logo...

25 u x x = u t   →

25 X ' ' x ⋅ T t = X x ⋅ T ' t →

25 X ' ' x X x = T ' t T t →

Essas duas funções diferentes variáveis só é igual se for uma constante λ :

25 X ' ' x X x = T ' t T t = λ

Então...

25 X ' ' x X x = λ

E

T ' t T t = λ

Portanto, ganhamos duas EDOs:

X ' ' x = λ 25 X x   T ' t = λ T t      

Passo 2

Antes de resolvermos essas EDO’s temos que encontrar as condições de contorno e condições iniciais para sabermos por qual EDO começarmos. Vamos nessa!

Sabemos que pelas condições de contorno...

u 0 ,   t = 0 ,           u 5 ,   t = 0

Como

u x ,   t = X x ⋅ T t

Então...

u 0 ,   t = 0   →       X 0 T t = 0   →       l o g o …

X 0 = 0

E

u 5 ,   t = 0   →       X 5 T t = 0   →       l o g o …

X 5 = 0

Passo 3

Beleza, então veja que a EDO que temos mais informações é a de X ...

X ' ' x = λ 25 X x   X 0 = 0 X 5 = 0      

Resolvendo essa EDO por Equação característica...

r 2 = λ 25       →           r = ± λ 25 = ± 1 5 λ

Então se λ > 0 ...

X = c 1 e 1 5 λ x + c 2 e - 1 5 λ x

Substituindo as condições de contorno:

X 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = c 1 + c 2 = 0   →

c 1 = - c 2

E...

X 5 = - c 2 e λ + c 2 e - λ = 0

Como as exponenciais não são nulas...

c 2 = - c 1 = 0

Então essa solução é ruim! Vamos ver considerando λ = 0

X = c 1 + c 2 x   →

X 0 = 0     →         c 2 = 0

X 5 = 0     →           c 1 = 0

Também não queremos a solução constante!

Logo, a única opção que sobrou pra gente é...

λ < 0     →

X x = e 0 x ⋅ c 1 cos ⁡ 1 5 λ x + c 2 sin ⁡ 1 5 λ x =

c 1 cos ⁡ 1 5 λ x + c 2 sin ⁡ 1 5 λ x

Aplicando as condições agora...

X 0 = 0         →             X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sin ⁡ 0 =

c 1 = 0

E

X 5 = 0         →             X 5 = c 1 cos ⁡ λ + c 2 sin ⁡ λ   →

X 5 = c 2 sin ⁡ λ

Considerando c 2 diferente de 0 , para o seno ser 0 , esse termo dele tem que ser múltiplo de π ...

λ = m π   →

λ = m 2 π 2

Como λ tem que ser negativo...

λ = - m 2 π 2

Esses são os autovalores, e as autofunções são:

X x = sin ⁡ 1 5 m π x

Passo 4

Com esses autovalores podemos procurar a solução dessa outra EDO aqui:

T ' t = λ T t   →

T m ' t = - m 2 π 2   T m t

Perceba que a cada m , temos uma EDO diferente! Por equação característica podemos resolvê-la...

r = - m 2 π 2

Logo, a solução é...

T m = b m e - m 2 π 2 t

Onde b m é uma constante de solução para cada m .

Passo 5

A solução para cada m então é:

u m x ,   t = X x ⋅ T m t =

u m x ,   t = b m e - m 2 π 2 t sin ⁡ 1 5 m π x

Assim, o resultado do problema homogêneo é a soma de todas as soluções lineares:

u x ,   t = ∑ m = 1 ∞ b m e - m 2 π 2 t sin ⁡ 1 5 m π x

Passo 6

Achou que tinha acabado, jovem gafanhoto? Ainda falta saber quem é b m pela outra condição que não utilizamos:

u x ,   0 = 2 - x ,     0 < x < 5

Então...

u x ,   0 = ∑ m = 1 ∞ b m e 0 sin ⁡ 1 5 m π x →

u x ,   0 = ∑ m = 1 ∞ b m sin ⁡ 1 5 m π x = 2 - x

Perceba, que esse b m são os índices de uma série de Fourier em senos, e ela pode ser encontrada de acordo com Fourier para série apenas de senos:

b m = 2 5 ∫ 0 5 2 - x sin ⁡ 1 5 m π x   d x →

Integrando por partes...

u = 2 - x                     e                   d v = sin ⁡ 1 5 m π x d x

Logo...

d u = - d x                     e                   v = - cos ⁡ 1 5 m π x 1 5 m π

Como...

∫ u d v = u v - ∫ v d u   →

2 5 ∫ 0 5 2 - x sin ⁡ 1 5 m π x   d x = 2 5 - 2 - x ⋅ cos ⁡ 1 5 m π x 1 5 m π - ∫ 0 5 cos ⁡ 1 5 m π x 1 5 m π   d x →

2 5 ∫ 0 5 2 - x sin ⁡ 1 5 m π x   d x = 2 5 - 5 2 - x ⋅ cos ⁡ 1 5 m π x m π - 5 m π ∫ 0 5 cos ⁡ 1 5 m π x   d x →

2 5 ∫ 0 5 2 - x sin ⁡ 1 5 m π x   d x = 2 5 - 5 2 - x ⋅ cos ⁡ 1 5 m π x m π - 25 m 2 π 2 sin ⁡ 1 5 m π x 0 5 →

2 5 ∫ 0 5 2 - x sin ⁡ 1 5 m π x   d x = 2 5 - 5 2 - 5 ⋅ cos ⁡ m π m π - 25 m 2 π 2 sin ⁡ m π - - 5 2 ⋅ cos ⁡ 0 m π - 25 m 2 π 2 sin ⁡ 0 →

2 5 ∫ 0 5 2 - x sin ⁡ 1 5 m π x   d x = 2 5 - 5 2 - 5 ⋅ cos ⁡ m π m π - 25 m 2 π 2 sin ⁡ m π - - 5 2 ⋅ cos ⁡ 0 m π - 25 m 2 π 2 sin ⁡ 0 →

2 5 ∫ 0 5 2 - x sin ⁡ 1 5 m π x   d x = 2 5 15 ⋅ - 1 m + 10 m π →

2 5 ∫ 0 5 2 - x sin ⁡ 1 5 m π x   d x = 6 ⋅ - 1 m + 10 m π →

SOOO! Finished at least!

u x ,   t = ∑ m = 1 ∞ b m e - m 2 π 2 t sin ⁡ 1 5 m π x →

u x ,   t = ∑ m = 1 ∞ 6 ⋅ - 1 m + 10 m π e - m 2 π 2 t sin ⁡ 1 5 m π x

Resposta

u x ,   t = ∑ m = 1 ∞ 6 ⋅ - 1 m + 10 m π e - m 2 π 2 t sin ⁡ 1 5 m π x

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