UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 36
Determine a solução do problema de condução do calor
A solução obtida satisfaz a condição inicial?
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos a seguinte equação diferencial (ED)
com as condições de fronteira (CF)
e condições iniciais (CI)
Essa é a equação que descreve a evolução temporal e espacial da temperatura ao longo de um barra de comprimento , em que inicialmente a temperatura é dada por , e temos que as extremidades estão em temperaturas diferentes e . Esse é um formato clássico de um problema de equação de calor. Neste tipo de problema é conveniente começar encontrar uma solução estacionária e usar essa solução para reescrever o problema para um que conhecemos a resposta! Saca só!
Passo 2
Uma solução estacionária é tal que
você pode demonstrar a seguinte expressão substituindo a expressão acima na equação diferencial, mas, para este problema vamos partir do resultado
em nosso caso temos que , , e . De forma que temos
Qual a utilidade dessa função? Vamos usá-la para obter um problema de contorno mais simples! Saca só!
Passo 3
A solução que obtivemos no passo anterior é uma solução estacionária, ou seja, uma solução de equilíbrio, mas, para termos uma solução completa precisamos analisar a evolução temporal desse sistema, isso pode ser obtido procurando uma função transiente , definida de forma que
Aplicando essa expressão na equação diferencial, obtemos que
note que como é linear, a segunda derivada é nula! As condições de contorno agora são
e
ou seja, para o transiente o sistema é homogêneo, já que ambas as extremidades estão à mesma “temperatura”. A condição inicial é dada por
Para esse problema a solução já bastante conhecida! Mas se quiser demonstrar, use o método de separação de variáveis, mas cuidado na hora de escolher a constante de separação para garantir que tenha uma solução não-nula! Vamos aplicar o resultado conhecido!
Passo 4
O problema que montamos para o transiente tem a seguinte solução
em nosso caso , e portanto, podemos escrever
Aplicando as condições iniciais temos que
Maravilha! E como resolvemos isso? O segredo está nas séries de Fourier!
Passo 5
Note que o resultado que a expressão que obtivemos é idêntica ao termo de seno da série de Fourier, portanto, podemos identificar com
Precisamos fazer a integral por partes, usando o LIPTE (Logaritmo, Inversas, Polinômios, Trigonométricas, Exponenciais) como ordem de prioridade para escolher quem é na fórmula
usando então
e
assim como
e
de forma que a nossa integral resulta em
A integral que restou pode ser identificada como
e, portanto, temos o seguinte resultado
avaliando os limites, temos finalmente que
Belezinha? Ainda podemos mexer um pouco neste resultado! Mas estamos quase lá! Respira um teco e vamos continuar!
Passo 6
Temos que os nossos coeficientes são dados por
note que quando é ímpar, temos que resulta em um sinal negativo, e quando é par, temos um sinal positivo, considerando o sinal global na frente, temos que o coeficiente pode ser representado como
e, a nossa solução transiente pode ser escrita como
então a nossa solução do problema é tal que
Aaah, e como usamos as condições iniciais para construir o problema, claramente ele satisfaz essas condições! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!