Equação de calor
Apresente a extensão par da função
e esboce o gráfico no intervalo .
Encontre a série de Fourier da função acima e esboce o gráfico da série de Fourier no intervalo . (Sugestão: Use o Teorema de Convergência de Fourier)
Usando separação de variáveis encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema
onde está definida no item .
Passo 1
Se a função tem extensão par, então ela é dada por
Sua ilustração no intervalo está a seguir:
Para não introduzir mais descontinuidades, podemos assumir . =)
Passo 2
O teorema da Convergência de Fourier diz que nos pontos de descontinuidade, a série deve convergir para os valores médios. Assim, nos saltos de descontinuidade entre e , a série converge para ; nos saltos entre e , ela converge para . Isto é ilustrado na figura abaixo.
Passo 3
Agora, vamos achar a série de fato:
Como a extensão é par, não teremos a parte dos senos na série. Então vamos calcular os coeficientes necessários.
Primeiro, temos:
Mas o período neste caso é , logo . Assim,
Essa integral é a soma das áreas dos retângulos definidos pela função:
Logo,
Passo 4
Ótimo, agora faltam os :
Mas como e são funções pares, seu produto também vai ser.
Logo:
Como a função é para entre e , para entre e ; para entre e
Como
Essa expressão é meio chatinha mas fica mais fácil de trabalhar se lembrarmos de arco duplo
No nosso caso
Assim o nosso termo é dado por
Passo 5
Beleza, agora vamos olhar esse termo.
Para nos limitarmos à uma volta, temos que o argumento do seno tem de estar entre e
(lembrando que isso corresponde à , 6)
De primeira, dá pra ver que quando esse seno na frente for todo o é 0, ou seja,
Já quando o segundo cara em colchetes é o é também!
Nesse intervalo os valores onde são dados por
Então para termos
Se ficar difícil visualizar assim, basta construir a seguinte tabela
Passo 6
Agora dá pra ter uma ideia do comportamento dessa série, né?
- Para ():
- Para ():
Aqui podemos simplificar esse seno e cosseno usando adição de arcos
E o cosseno fica
Assim o nosso termo fica
De novo, vamos fazer aquela trigonometria feliz
E no cosseno
E o nosso termo fica
Passo 7
Assim, o somatório de cossenos se torna:
E escrevemos
Passo 8
Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever
Note que se trata de uma equação de calor.
Com a separação, teremos:
Portanto, nossa equação se torna
E isso origina duas equações (uma em e outra em ):
Passo 9
Agora, vamos olhar para as condições iniciais:
De e , se , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em , não atenderia à condição . Logo, .
Passo 10
Neste caso, nos resta admitir o seguinte:
Assim, formamos o seguinte problema:
Buscando uma solução não-trivial , vamos avaliar a equação característica:
E a solução geral é da forma
Passo 11
Derivando e aplicando as condições de contorno:
Note que na última equação não podemos ter (se não teríamos ). Então, precisamos de . Como , sobra
Passo 12
Como queremos , basta fazer , de modo que obtemos . Estes são nossos autovalores!
Portanto, ficamos com
que são nada mais nada menos que nossas autofunções!
Passo 13
Agora que já conhecemos os autovalores , vamos voltar pra equação em :
Fácil, né? Vamos substituir por :
E, assim, uma solução deve ser
Passo 14
Se qualquer é solução, então uma combinação linear dessas soluções (para diferentes valores de ) também é solução:
Mas, como a condição precisa ser atendida:
Concluímos que são os próprios coeficientes da série de Fourier obtidos.
Resposta
(a)
(b)
(c)