Equações de Calor
Resolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando cada passo detalhadamente:
Passo 1
Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever
Note que se trata de uma equação de calor.
Com a separação, teremos:
Portanto, nossa equação se torna
E isso origina duas equações (uma em e outra em ):
Passo 2
Agora, vamos olhar para as condições iniciais:
De e , se , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em , não atenderia à condição . Logo, .
Passo 3
Neste caso, nos resta admitir o seguinte:
Assim, formamos o seguinte problema:
Buscando uma solução não-trivial , vamos avaliar a equação característica:
E a solução geral é da forma
Passo 4
Aplicando as condições de contorno:
Note que na última equação não podemos ter (se não teríamos ). Então, precisamos de . Como , sobra
Passo 5
Como queremos , basta fazer , de modo que obtemos . Estes são nossos autovalores!
Portanto, ficamos com
que são nada mais nada menos que nossas autofunções!
Passo 6
Agora que já conhecemos os autovalores , vamos voltar pra equação em :
Fácil, né? Vamos substituir por :
E, assim, uma solução deve ser
Passo 7
Mas perceba só, se é solução, qualquer combinação linear de também será solução. Isto é, uma solução geral pode ser
Beleza, mas e agora, os coeficientes...? Bom, aí é só aplicar aquela condição , lembra?
Então, com :
Passo 8
Para tudo! Agora, você olha pra essa equação e percebe o quê? Cara, é a Série de Fourier!
Então não tem mágica alguma, a questão é que esses são os coeficientes da Série de Fourier da função . E digo mais, da extensão ímpar de , pois a série está só em senos.
Vamos definir essa extensão assim:
Essa função tem período , logo . Então vamos calcular os coeficientes. Troque por se você achar mais conveniente para a série de senos! =)
Passo 9
Como
Logo:
E aí a série fica assim
Como para ímpar podemos fazer , , fica assim:
Portanto:
E, finalmente, a solução é dada por