Encontre a solução do problema de valor inicial e de contorno :
Passo 1
Essa EDP trata-se de uma equação de calor homogênea e, para resolvê-la, temos que primeiro utilizar o método de separação de variáveis. Por esse método, sabe-se:
Substituindo na equação, teremos:
Como na igualdade acima o lado esquerdo não depende de e o lado direito não depende de , ambos deverão ser constantes e iguais a uma constante real .
Disso, obtemos as duas EDOs
Passo 2
Vamos analisar as condições de contorno:
Como essas igualdades devem valer para todo no nosso intervalo, temos:
Passo 3
Como temos uma equação de calor homogênea, sabemos que de cara que só teremos soluções não triviais para .
Fazendo o polinômio característico:
Nesse caso, só teremos solução não trivial se
Aplicando valores iniciais:
Como não queremos a solução trivial, temos que:
Para isso:
Passo 4
Vamos resolver a equação de que encontramos no passo 1 utilizando o encontrado anteriormente.
Com isso, obtemos a seguinte solução:
Passo 5
Vamos utilizar a última condição incial agora:
Essa última relação é satisfeita se os coeficientes são escolhidos como
Resolvendo a primeira integral, temos que:
Observamos que para , isto vale 0.
Para calcular a segunda integral, temos as identidades trigonométricas:
Para integrar isso, separa entre os casos e . Para :
Para , temos:
Logo, podemos concluir que é solução para o problema de valor inicial e de contorno se os coeficientes são escolhidos por , e para