Parte 1: Um fio isolante infinito, alinhado com o eixo , está carregado com a densidade de carga positiva . Uma carga pontual, com valor , é colocada no ponto , sendo .

a) Calcule o campo elétrico nos pontos , sendo .

b) Encontre o valor de no qual o campo elétrico é nulo.

Parte 2: Três cargas pontuais idênticas estão situadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado .

c) Calcule a energia eletrostática do sistema.

d) Calcule a que distância das cargas está o ponto no qual o campo elétrico é nulo.

Primeiro vamos encontrar o campo elétrico da carga que é mais tranquila!

A teoria nos diz que o campo elétrico de uma carga elétrica pontual é dado pela Lei de Coulomb...

Onde é a distância entre a carga e o ponto onde estamos medindo o campo elétrico. POW! No nosso caso, a distância entre a carga e o ponto do campo é , então...

Agora vamos para o campo produzido por uma reta de carga, beleza?

Para isso, vamos usar a Lei de Gauss que nos diz que o fluxo do campo elétrico dentro de uma Gaussiana deve ser igual á...

Onde é a Gaussiana, uma superfície fechada que devemos construir ao redor do fio. No Caso, a Gaussiana mais adequada tem que ser um cilindro de raio ...

Então a carga presa dentro do cilindro produz um campo elétrico que é radial ao fio sempre...

E olha que maneiro cara, o campo elétrico é perpendicular a superfície do cilindro, o que é o mesmo que dizer que o campo elétrico do fio então tem a mesma direção que o vetor de área da superfície do cilindro...

Pela álgebra, se tivermos dois vetores na mesma direção o produto vetorial deles será apenas o produto dos módulos (tamanhos). Sendo assim, podemos dizer que o produto escalar entre os vetores é igual ao produto dos módulos, isto é...

Então...

Como o campo elétrico é constante ao longo de todo o cilindro (Gaussiana)...

E agora quem é a integral de ? Isso mesmo! É a área da Lateral do cilindro!

Onde é o raio do cilindro e é a altura do cilindro...

Agora, o que significa ? SIM! É a densidade de carga do fio...

Viu só! A Lei de Gauss é maravilhosa mesmo, neh? MAS ATENÇÃO: a integral de superfície deve ser sempre calculada em uma superfície fechada. E a partir da , nós trocamos a integral de superfície fechada para uma integral na lateral do cilindro apenas, já que o fluxo de campo elétrico nas tampas do cilindro é (afinal o campo elétrico não sai e nem entra a partir das tampas, ta ligado?

Então, concluindo a Letra A, podemos dizer que o campo elétrico no eixo é...

E ainda em termos de vetor, podemos dizer que esse campo no eixo aponta na direção do eixo ...

Ou seja...

Nesse item apenas temos que encontrar o ponto onde o campo elétrico se anula. Para isso...

Então...

Logo...

Resolvendo esse quadrado do lado esquerdo...

Repare ainda que podemos escrever esse lado esquerdo como...

Ou seja...

Então essa é a distância onde o campo elétrico é nulo .

PARTE 2:

Assim como no início do exercício , vamos desenhar primeiro essa configuração de cargas, pode ser?

Temos três cargas pontuais de cargas dispostas em um triângulo equilátero de lado ...

POW! Pela teoria sabemos que energia eletrostática pode ser dada por...

Onde e é o par de cargas e é a distância entre elas!

Então, no nosso caso temos três pares...

Para cada Par desse aí a energia eletrostática será...

Logo, a energia eletrostática total será...

POXA! Se temos três cargas pontuais idênticas, o ponto onde teremos campo elétrico será nulo será no centro geométrico da figura...

De acordo com a nossa linda Geometria, o centro de um triângulo equilátero (baricentro) acontece a da altura ...

E a altura é dada por Pitágoras...

Então a distância de cada carga ao ponto de campo elétrico nulo será...