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Exercícios Resolvidos de Intensidade de uma Onda Sonora

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Enunciado

Livro Young and Freedman, Volume 2, 12ª Edição, Capítulo 15, Seção Problemas, Exercício 49

(Capítulo 15.Problemas – Exercícios 49) Uma onda transversal senoidal com amplitude igual a 2,5 mm e comprimento de onda igual a 1,8 m propaga-se com velocidade de 36,0 m/s da esquerda para a direita ao longo de uma corda esticada horizontal. Considere a origem na extremidade esquerda da corda sem perturbação. No tempo t=0 a extremidade esquerda está sobre a origem e se move de baixo para cima. a) Ache a frequência, a frequência angular e o numero de onda desta onda. b) Qual é a função y ( x , t ) que descreve a onda? c) Qual é a função y ( t ) para uma partícula na extremidade esquerda da corda? d) Qual é a função y t para uma partícula situada a 1,35 m à direita da origem? e) Qual é o modulo máximo da velocidade transversal de qualquer partícula da corda? f) Ache o deslocamento transversal e a velocidade transversal de uma partícula situada a 1,35 m à direita da origem para o tempo t = 0,0625   s .

Passo 1

E aí galera?! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questãozinha!

Como esse exercício é daqueles que tem um monte de itens, vamos resolver cada um deles de cada vez, explicando passo a passo!

Porém, antes disso vale a gente ressaltar aqui algumas coisinhas: o enunciado disse pra gente que a corda está esticada horizontalmente e que a origem está do lado esquerdo e não têm nenhuma perturbação! Isso mostra pra gente que utilizaremos as fórmulas de ondas que possuem uma ponta fixa e outra solta!

Bora lá então! Vamos vamos começar calculando v , ω e k das equações da onda periódica ( v = λ f ), do número de onda ( k = 2 π / λ ) e da onda periódica ( ω = v k ).

Pra isso, vamos aplicar a equação da onda senoidal movendo-se no sentindo + x para obter y ( x , t ) :

y x , t = A cos ⁡ ( k x - ω t ) .

Onde, do enunciado: A = 2,50 × 10 - 3   m λ = 1,80   m v = 36,0   m / s

Passo 2

a) Para encontrarmos a frequência, partimos então da equação v = λ f , isso implica que:

f = v λ = 36   m / s 1,80   m = 20,0   H z

Agora usamos a frequência para calcular a frequência angular:

ω = 2 π f = 2 π 20,0 H z = 126   r a d / s

E o numero de onda desta onda por:

k = 2 π λ = 2 π r a d 1,80   m = 3,49   r a d / m

Passo 3

b) Para uma onda viajando para a direita, temos que: y x , t = A cos ⁡ ( k x - ω t ) .

Essa equação fornece que o final x = 0 da corda tem deslocamento máximo para cima em t = 0 .

Substituindo os números, temos que:

y x , t = 2,50 × 10 - 3   m cos ⁡ 3,49 r a d m x - 126 r a d s t .

Passo 4

c) A extremidade esquerda está localizada em x = 0 . Colocaremos este valor na equação da parte (b),

y 0 , t = + 2,50 × 10 - 3   m cos ⁡ 126 r a d s t

Agora como pedido no enunciado colocaremos x = 1,35   m na equação acima de modo a obter:

y 1,35   m , t = + 2,50 × 10 - 3   m cos ⁡ 3,49 r a d m 1,35   m - 126 r a d s t

⇒ y 1,35   m , t = + 2,50 × 10 - 3   m cos ⁡ 4,71   r a d - 126 r a d s t  

4,71   r a d = 3 π 2

A partir disso, vemos que: cos ⁡ θ = cos ⁡ - θ

Então,

y = 1,35   m , t = ( 2,50 × 10 - 3   m ) ( cos ⁡ 126 r a d s t - 3 π 2 r a d  

Passo 5

d) Sabemos que

y x , t = A cos ⁡ ( k x - ω t )

A velocidade transversal é dada por

v y = ∂ y ∂ t = A ∂ ∂ t cos ⁡ k x - ω t = A ω sen ⁡ k x - ω t .

O máximo v y é:

A ω = 2,50 × 10 - 3   m 126 r a d s = 0,315 m s .

Passo 6

e) Agora vamos achar o deslocamento transversal de uma partícula situada a 1,35 m à direita da origem para o tempo t = 0,0625   s :

y x , t = ( 2,50 × 10 - 3   m ) ( cos ⁡ 126 r a d s x - 126 r a d s t

Como t = 0,0625   s x = 1,35   m , isso nos dá que:

y = ( 2,50 × 10 - 3   m ) ( cos ⁡ 126 r a d s x = 1,35   m - 126 r a d s 0,0625   s

y = - 2,50 × 10 - 3   m

Além disso, a velocidade transversal se dá por:

v y = + A ω   s e n   k x - ω t = + 0,315 m s   s e n   2,49 r a d m x - 126 r a d s t  

Como t = 0,0625   s x = 1,35   m , isso nos dá que:

v y = + A ω   s e n   k x - ω t = + 0,315 m s   s e n   2,49 r a d m 1,35   m - 126 r a d s 0,0625   s

v y = 0,0  

Ufa! Acabamos!

Bora resolver mais uma questão?

Resposta

  1. f = 20,0   H z ; ω = 126   r a d / s ; k = 3,49   r a d / m .
  2. y x , t = 2,50 × 10 - 3   m cos ⁡ 3,49 r a d m x - 126 r a d s t
  3. y 0 , t = + 2,50 × 10 - 3   m cos ⁡ 126 r a d s t
  4. y = 1,35   m , t = ( 2,50 × 10 - 3   m ) ( cos ⁡ 126 r a d s t - 3 π 2 r a d  
  5. A ω = 2,50 × 10 - 3   m 126 r a d s = 0,315 m s
  6. y = - 2,50 × 10 - 3   m ; v y = 0 .

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