UTFPR. Cálculo 2. AV1. 2022.1. Questão 4c.
Questão 4) Calcule (ou mostre que não existe) o limite
c)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão temos que obter o limite de uma função quando tende a , a função é essa aqui
E ai! Como vamos obter esse limite? 🤔🤔
Quando calculamos o limite de uma função, estamos calculando o valor para qual a função se aproxima quando nos aproximamos de um ponto .
Nesse caso, queremos descobrir o valor que tende a assumir quando nos aproximamos de .
Pronto pra começarmos nossos cálculos? 😁
Passo 2
Não podemos substituir e por logo de cara, pois isso gera uma indeterminação
Então temos que encontrar outro método para calcular esse limite.
Um método muito interessante é nos aproximarmos por curvas que passam no ponto que estamos estudando, no caso .
Por exemplo, podemos nos aproximar pela curva .
Substituindo por no limite, temos
Como dividido por qualquer numero resulta em , então
Como o limite de uma constante é a própria constante, logo
Com isso, vemos que se nos aproximarmos do ponto pela curva , o limite de é igual a !
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Podemos nos aproximar agora pela curva .
Substituindo por no limite, temos
Pela mesma ideia anterior, dividido por qualquer número resulta em , ou seja, em uma constante.
Assim vemos que nos aproximando do ponto pela curva a função tende a !
Agora podemos nos aproximar pela curva , substituindo por no limite, temos
Simplificando o denominador
Assim podemos cortar o de cima com o de baixo
Aplicando o limite, temos que
Ou seja, aproximando por , o limite da função é igual a .
Quanto mais curvas usarmos como aproximação mais embasamento nossa resposta vai ter.
Com isso, vemos que o limite de para quando tende a é igual a !
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí