UTFPR. Cálculo 2. AV1. 2022.1. Questão 4a.
Questão 4) Calcule (ou mostre que não existe) o limite:
a)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
No enunciado do problema foi pedido pra obtermos o limite de para quando e tenderem a .
Tem ideia de como podemos fazer isso?? 🤔
Na pratica, quando calculamos o limite de uma função em um ponto , estamos calculando a imagem que a função tende a mostrar quando nos aproximamos desse ponto .
No caso, nossa função é dada por
Se simplesmente substituirmos e por , vamos obter
ou seja, uma indeterminação!
Temos que usar algum método para obter o limite dessa função!
Bora ver? 😉
Passo 2
Podemos usar o método de aproximação por curvas.
Devemos escolher algumas curvas que passam pelo ponto que estamos estudando, no caso o ponto , se houver alguma divergência nos limites significa que o limite não existe.
Que tal começarmos com a curva ?
Substituindo por no nosso limite, temos
Simplificando a fração, temos
Como o limite de uma constante é a própria constante, então
Com isso, vemos que nos aproximando pela curva o limite de é igual a !
Tranquilo até aqui?
Passo 3
O que você acha de nos aproximarmos pela curva ?
Substituindo por no nosso limite, temos
Simplificando a fração que sobrou, temos
Ainda não podemos substituir por , se fizermos isso, vamos zerar nosso denominador.
Podemos aplicar o método de .
Este método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite, ou seja
Como sabemos a derivada de uma constante é igual a
Já a derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial onde multiplicamos pelo seu expoente e subtraímos da sua potência.
Substituindo esses resultados no limite, temos
Como o limite de uma constante é a própria constante, então
Com isso, vimos que se nos aproximarmos do ponto pela curva a função tende a .
Como obtemos valores diferentes para as aproximações, o limite não existe!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
