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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – 2021.2 - 5ª Tarde – Questão 1b

(b) Seja

f x y 2 log ⁡ x x - 1 2 + y 2   s e   x , y ≠ ( 1,0 ) 0   s e   x , y = ( 1,0 )

A função f é contínua em x , y = ( 1,0 ) ? Justifique!

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Seguinte... a questão nos diz que a função y 2 log ⁡ x x - 1 2 + y 2 é contínua para todo x , y ∈ R , exceto em x , y = ( 1,0 ) .

Logo, para que f seja contínua também em x , y = ( 1,0 ) , devemos ter que:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ y 2 log ⁡ x x - 1 2 + y 2 = 0

Porque dessa forma o “buraco” da descontinuidade da função acima seria “tampado”.

Passo 2

Tá... mas no que isso ajuda?

Vamos primeiro relembrar o teorema do confronto:

“Se uma função que está no meio de outras duas funções que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas”.

Assim, podemos fazer o seguinte:

0 ≤ y 2 ≤ y 2 + x - 1 2

Dividindo por [ y 2 + x - 1 2 ] , temos:

0 ≤ y 2 y 2 + x - 1 2 ≤ 1

Multiplicando por log ⁡ x , temos:

0 ≤ log ⁡ x ∙ y 2 y 2 + x - 1 2 ≤ log ⁡ x

Passo 3

Dessa forma, aplicando o limite, temos:

lim x , y → ( 1 , 0 ) ⁡ 0 ≤   lim x , y → 1 , 0 ⁡ y 2 log ⁡ x x - 1 2 + y 2 ≤ lim x , y → ( 1 , 0 ) ⁡ log ⁡ x

0 ≤   lim x , y → 1,0 ⁡ y 2 log ⁡ x x - 1 2 + y 2 ≤ 0

Assim, vemos que o limite tende a zero, fazendo f ( x , y ) ser contínua no ponto ( 1,0 ) .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A função é contínua

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